《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习


如果两个三角形的对应角相等，对应边相等，那么这两个三角形全等。

如果两个三角形的对应角∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，对应边$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$，那么这两个三角形相似。

答案： 相等 相等
∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，$∠C = ∠C'\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$

【例题1】如图,$ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $,则：
(1) $ AB $ 的对应边为DE；
$ AC $ 的对应边为DF；
$ \angle B $ 的对应角为∠E.
(2) $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 的相似比 $ k = $2.

答案： 【例题1】
(1)DE DF ∠E
(2)2

【变式1】如图,$ \triangle ABC \backsim \triangle AB'C' $,$ \angle B = 90^\circ $.
(1) $ AB' $ 的对应边为AB,$ B'C' $ 的对应边为BC,$ \angle AB'C' = $90$ ^\circ $；
(2) $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle AB'C' $ 相似比 $ k = $$\frac{3}{2}$.

答案： 【变式$1】(1)AB BC 90 (2)\frac{3}{2}$

【例题2】若 $ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 的最长边的长度分别为 3 和 9,$ \triangle ABC $ 的最短边的长度为 2,则 $ \triangle DEF $ 的最短边的长度为6.

答案： 【例题2】6

【变式2】已知 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $,若 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ 1 $,$ \sqrt{3} $,$ \sqrt{2} $,$ \triangle A'B'C' $ 的其中两边长分别为 $ \sqrt{2} $ 和 $ \sqrt{6} $. 则 $ \triangle A'B'C' $ 的第三边长为(B)
A. $ \sqrt{2} $
B. 2
C. $ \dfrac{1}{2} $
D. $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $

答案： 【变式2】B

【例题3】如图,$ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $,$ AE = 5 \text{ cm} $,$ EC = 3 \text{ cm} $,$ BC = 6 \text{ cm} $,$ \angle BAC = 42^\circ $,$ \angle C = 40^\circ $.
(1) 求 $ \angle ADE $ 和 $ \angle AED $ 的度数；
$\angle ADE=$98°，$\angle AED=$40°
(2) 求 $ DE $ 的长.
$DE=$$\frac{15}{4}\text{cm}$

答案： 【例题3】解：
(1)
∵ △ADE ∽ △ABC，
∠BAC = 42°，∠C = 40°，
∴ ∠AED = ∠C = 40°，
∴ ∠ADE = 180° - ∠BAC - ∠AED = 98°；
(2)
∵ AE = 5 cm，EC = 3 cm，BC = 6 cm，
∴ AC = 8 cm.
∵ △ADE ∽ △ABC，
∴$ \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}，$即$\frac{5}{8} = \frac{DE}{6}，$
∴$ DE = \frac{15}{4} cm.$

【变式3】如图,$ AC = 4 $,$ BC = 6 $,$ \angle B = 36^\circ $,$ \angle D = 117^\circ $,且 $ \triangle ABC \backsim \triangle DAC $.
(1) 求 $ \angle BAD $ 的大小；153°
(2) 求 $ DC $ 的长.$\frac{8}{3}$

答案： 【变式3】解：
(1)
∵ △ABC ∽ △DAC，∠B = 36°，
∠D = 117°，
∴ ∠DAC = ∠B = 36°，∠BAC = ∠D = 117°，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 117° + 36°
= 153°；
(2)
∵ △ABC ∽ △DAC，AC = 4，BC = 6，
∴$ \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{AC}，$即$\frac{4}{DC} = \frac{6}{4}，$
∴$ DC = \frac{8}{3}.$

1. 若 $ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $,$ AB = 10 $,$ BC = 12 $,$ DE = 5 $,则 $ EF $ 的长为(C)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 1.C

2. 如图,$ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $,若 $ AD = 1 $,$ BD = 2 $,则 $ \triangle ADE $ 与 $ \triangle ABC $ 的相似比是(B)

A.$ 1 : 2 $
B.$ 1 : 3 $
C.$ 2 : 3 $
D.$ 3 : 2 $

答案： 2.B

3. 如图,$ \triangle AED \backsim \triangle ABC $,$ AD = 2 $,$ AE = 3 $,$ EC = 1 $,则 $ BD = $____3.4.

答案： 3.4

4. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 12 $,$ AC = 9 $,点 $ D $,$ E $ 分别在边 $ AB $,$ AC $ 上,且 $ \triangle ADE $ 与 $ \triangle ABC $ 相似. 如果 $ AE = 6 $,那么线段 $ AD $ 的长是4.8 或$\frac{9}{2}$.

答案： 4.8 或$\frac{9}{2}$