《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题4】解方程：$(x - 3)^{2}+2(x - 3)-8 = 0$。

答案： 解: 设$y = x - 3$，
则原方程化为$y^2 + 2y - 8 = 0$，
$(y + 4)(y - 2) = 0$，
$\therefore y + 4 = 0$或$y - 2 = 0$，
解得$y_1 = -4$，$y_2 = 2$，
当$y = -4$时，$x - 3 = -4$，解得$x = -1$；
当$y = 2$时，$x - 3 = 2$，解得$x = 5$；
$\therefore$原方程的解为$x_1 = -1$，$x_2 = 5$。

【变式4】解方程：$(x + 1)^{2}+3(x + 1)+2 = 0$。

答案： 解: 设$y = x + 1$，
则原方程化为$y^2 + 3y + 2 = 0$，
$(y + 1)(y + 2) = 0$，
$\therefore y + 1 = 0$或$y + 2 = 0$，
解得$y_1 = -1$，$y_2 = -2$，
当$y = -1$时，$x + 1 = -1$，解得$x = -2$；
当$y = -2$时，$x + 1 = -2$，解得$x = -3$；
$\therefore$原方程的解为$x_1 = -2$，$x_2 = -3$。

1. 解下列方程：
(1)$x^{2}+x-2 = 0$；
解: $(x + 2)(x - 1) = 0$，
$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$，
$\therefore x_1 = $-2，$x_2 = $1；
(2)$2x^{2}-35x+150 = 0$。
解: $(2x - 15)(x - 10) = 0$，
$2x - 15 = 0$或$x - 10 = 0$，
$\therefore x_1 = $$\frac{15}{2}$，$x_2 = $10。

答案： 解:
(1)$(x + 2)(x - 1) = 0$，
$x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$，
$\therefore x_1 = -2$，$x_2 = 1$；
(2)$(2x - 15)(x - 10) = 0$，
$2x - 15 = 0$或$x - 10 = 0$，
$\therefore x_1 = \frac{15}{2}$，$x_2 = 10$。

2. 三角形的两边长分别为3和6,第三边长为方程$x^{2}-7x+10 = 0$的一个根,求这个三角形的周长为14。

答案： 14

3. (2025·广州阶段)已知$(m^{2}+n^{2})^{2}-3(m^{2}+n^{2})-10 = 0$,则$m^{2}+n^{2}=$5。

答案： 5

4. (2024·中山期中)阅读下面材料,然后解答问题：
解方程：$(x^{2}-3)^{2}-(x^{2}-3)-2 = 0$。
分析：本题实际上一元四次方程。若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性。解高次方程的基本方法是“降次”,我们可以把$x^{2}-3$视为一个整体设为另外一个未知数,可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答。我们把这种换元解方程的方法叫做换元法。
解：设$x^{2}-3 = m$,则原方程换元为$m^{2}-m-2 = 0$,$(m - 2)(m + 1) = 0$,解得$m_{1} = 2$,$m_{2} = -1$。
$\therefore x^{2}-3 = 2或x^{2}-3 = -1$。
解得$x_{1}= \sqrt{5}$,$x_{2}= -\sqrt{5}$,$x_{3}= \sqrt{2}$,$x_{4}= -\sqrt{2}$。
请参考例题解法,解下列方程：
(1)$x^{4}-2x^{2}-3 = 0$；
解：设$x^2 = t$，则$t^2 - 2t - 3 = 0$，
$\therefore$$(t - 3)(t + 1) = 0$，
解得$t = 3$或$t = -1$(舍去)，
即$x^2 = 3$，
解得$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$；
(2)$x^{2}+2x-2\sqrt{x^{2}+2x}-3 = 0$。
解：设$\sqrt{x^2 + 2x} = a$，则$a \geq 0$，
则$a^2 - 2a - 3 = 0$，
$\therefore$$(a + 1)(a - 3) = 0$，
解得$a = 3$或$a = -1$(舍去)，
即$\sqrt{x^2 + 2x} = 3$，
$\therefore$$x^2 + 2x - 9 = 0$，
$\therefore$$x^2 + 2x + 1 = 10$，
$\therefore$$(x + 1)^2 = 10$，
$\therefore$$x + 1 = \pm \sqrt{10}$，
解得$x_1 = -1 - \sqrt{10}$，$x_2 = -1 + \sqrt{10}$。

答案： 解:
(1) 设$x^2 = t$，则$t^2 - 2t - 3 = 0$，
$\therefore (t - 3)(t + 1) = 0$，
解得$t = 3$或$t = -1$(舍去)，
即$x^2 = 3$，
解得$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$；
(2) 设$\sqrt{x^2 + 2x} = a$，则$a \geq 0$，
则$a^2 - 2a - 3 = 0$，
$\therefore (a + 1)(a - 3) = 0$，
解得$a = 3$或$a = -1$(舍去)，
即$\sqrt{x^2 + 2x} = 3$，
$\therefore x^2 + 2x - 9 = 0$，
$\therefore x^2 + 2x + 1 = 10$，
$\therefore (x + 1)^2 = 10$，
$\therefore x + 1 = \pm \sqrt{10}$，
解得$x_1 = -1 - \sqrt{10}$，$x_2 = -1 + \sqrt{10}$。