《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$(其中$b^{2}-4ac$$\geqslant$0).
B. 当$\Delta$$\geqslant$0时,$\sqrt{b^{2}-4ac}$有意义,方程有实数根.
(1) 当$\Delta$＞0时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$\Delta$=0时,方程有两个相等的实数根.
C. 当$\Delta$＜0时,$\sqrt{b^{2}-4ac}$无意义,方程无实数根.

答案： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\geqslant$ $\geqslant$ $＞$ $=$ $＜$

1. 方程$x^{2}-4x+1= 0的\Delta$的值为12,有两个不相等的实数根；
2. 方程$x^{2}-x+\frac{1}{4}= 0的\Delta$的值为0,有两个相等的实数根；
3. 方程$x^{2}-x+2= 0的\Delta$的值为-7,没有实数根.

答案： 1.12 两 不相等 2.0 两 相等 3.-7 没有

【例题1】不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)$x^{2}+x-2= 0$；∵a=1,b=1,c=-2,∴Δ=b²-4ac=1+8=9＞0,∴方程有两个不相等的实数根(2)$4x^{2}+1= 2x$.原方程移项，得4x²-2x+1=0,∵a=4,b=-2,c=1,∴Δ=b²-4ac=4-16=-12＜0,∴方程无实数根

答案： 解：
(1)$\because a=1,b=1,c=-2,$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=1+8=9＞0,$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根；
(2)原方程移项，得$4x^{2}-2x+1=0,$
$\because a=4,b=-2,c=1,$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=4-16=-12＜0,$
$\therefore$ 方程无实数根.

【变式1】不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)$2x^{2}+3x+4= 0$；方程无实数根(2)$x^{2}-2x+1= 0$.方程有两个相等的实数根

答案： 解：
(1)$\because a=2,b=3,c=4,$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=9-32=-23＜0,$
$\therefore$ 方程无实数根；
(2)$\because a=1,b=-2,c=1,$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=4-4=0,$
$\therefore$ 方程有两个相等的实数根.

【例题2】已知关于$x的方程x^{2}+4x+2-k= 0$.
(1) 若方程有两个相等的实数根,求$k$的值；
(2) 若方程无实数根,求$k$的取值范围.

答案： 解：
(1)由题意，得$\Delta =0,$
即$\Delta =b^{2}-4ac=16-4(2-k)=0,$
化简，得$4k+8=0,$
$\therefore k=-2;$
(2)由题意，得$\Delta ＜0,$
即$\Delta =b^{2}-4ac=16-4(2-k)＜0,$
化简，得$4k+8＜0,$
$\therefore k＜-2.$

【变式2】关于$x的一元二次方程(m-1)x^{2}+2x+1= 0$有两个实数根,则实数$m$的取值范围是(D)
A.$m\leqslant2$
B.$m\geqslant2$
C.$m＜2且m≠1$
D.$m\leqslant2且m≠1$

答案： D

【例题3】已知关于$x的一元二次方程x^{2}-kx-2k^{2}= 0$,求证：方程一定有实数根.

答案： 证明：$\because a=1,b=-k,c=-2k^{2},$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=k^{2}+8k^{2}=9k^{2}.$
$\because k^{2}\geqslant0,\therefore \Delta =9k^{2}\geqslant0,$
$\therefore$ 原方程一定有实数根.

【变式3】已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(2m-3)x-3m= 0$,求证：方程总有两个不相等的实数根.

答案： 证明：$\because a=1,b=2m-3,$
$c=-3m,$
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(2m-3)^{2}+12m=4m^{2}+9.$
$\because m^{2}\geqslant0,$
$\therefore \Delta =4m^{2}+9\geqslant9＞0,$
$\therefore$ 原方程总有两个不相等的实数根.