《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,在$ \odot O $中,$ OA = 2 $,$ ∠ACB = 45^{\circ} $,则图中阴影部分的面积为(A)

A.π
B.2π
C.$ \frac{π}{4} $
D.$ \frac{π}{2} $

答案： A

2. (人教九上P116教材改编) 如图,扇形折扇完全打开后,如果张开的角度($ ∠BAC $)为$ 120^{\circ} $,骨柄AB的长为40cm,扇面的宽度BD的长为20cm,那么这把折扇的扇面面积为____$400\pi$$ cm^{2} $.

答案： $400\pi$

3. 如图,已知扇形BOD,$ DE ⊥ OB $于点E,若$ ED = OE = 2 $,则阴影部分的面积为(B)
A.$ 2\sqrt{2} - 2 $
B.$ π - 2 $
C.$ π - \sqrt{2} $
D.π

答案： B

4. 如图,每个圆的半径都是1cm. 则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为$\frac{\pi}{2}$.

答案： $\frac{\pi}{2}$

5. 如图所示,$ △ABC $在边长为1的正方形网格中.
(1) 作出$ △ABC $绕点C顺时针旋转$ 90^{\circ} 后的图形 △A_{1}B_{1}C $;
(2) 在(1)的条件下,求出AC扫过的面积.

答案：
解：
(1)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C$即为所求；
(2) $AC$ 扫过的面积 $S=\frac{90×\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360}=2\pi$。
　　　　

6. 如图,六边形ABCDEF为$ \odot O $的内接正六边形,$ AB = 6 $,求阴影部分的面积.

解：$\because$正六边形的边长为6，
　$\therefore\odot O$的半径为6。
　$\therefore S_{\odot O}=$$6^{2}×\pi$$= 36\pi$。
　$\because$空白正六边形为六个边长为6的正三角形，
　$\therefore$每个三角形的面积为$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}×6$$= 9\sqrt{3}$。
　$\therefore$正六边形的面积为$6×9\sqrt{3}$$=54\sqrt{3}$。
　$\therefore S_{阴影}=$$\frac{1}{6}×(36\pi - 54\sqrt{3})$$=$$6\pi - 9\sqrt{3}$。

答案： 解：$\because$正六边形的边长为6，
　$\therefore\odot O$的半径为6。
　$\therefore S_{\odot O}=6^{2}×\pi = 36\pi$。
　$\because$空白正六边形为六个边长为6的正三角形，
　$\therefore$每个三角形的面积为$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}×6 = 9\sqrt{3}$。
　$\therefore$正六边形的面积为$6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}$。
　$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{6}×(36\pi - 54\sqrt{3})=6\pi - 9\sqrt{3}$。

7. (2024·佛山一模) 如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,且$ AC = CE $,连接AE交CD于点O,以点O为圆心,OD为半径作$ \odot O $,$ \odot O $交线段AO于点F.

(1) 求证: AC是$ \odot O $的切线;
(2) 若$ AB = 2\sqrt{2} + 2 $,求阴影部分的面积.

答案：
证明：如图，过点$O$作$OH\perp AC$于点$H$，
　　
　$\because$四边形$ABCD$是正方形，
　$\therefore\angle ADO=\angle AHO = 90^{\circ}$，$AD// BE$，
　$\therefore\angle DAO=\angle E$，
　$\because AC = CE$，
　$\therefore\angle E=\angle CAO$，
　$\therefore\angle DAO=\angle CAO$，
　$\therefore OD = OH$，
　$\therefore AC$是$\odot O$的切线；
(2)解：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
　$\therefore\angle ACD=\angle DAH = 45^{\circ}$，
　$\therefore\triangle COH$是等腰直角三角形，
　$\therefore OC=\sqrt{2}OD=\sqrt{2}OH$，
　$\therefore AB = CD = OD + OC = OD+\sqrt{2}OH = OD+\sqrt{2}OD$，
　$\because AB = 2\sqrt{2}+2$，
　$\therefore OD+\sqrt{2}OD = 2\sqrt{2}+2$，
　$\therefore OD = 2$，
　$\because\angle DAO=\angle CAO=\frac{1}{2}\angle DAH = 22.5^{\circ}$，
　$\therefore\angle AOD = 90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
　$\therefore S_{阴影}=S_{\triangle ADO}-S_{扇形DOF}=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}+2)×2-\frac{67.5\pi×2^{2}}{360}=2\sqrt{2}+2-\frac{3}{4}\pi$。