《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】(人教九下P8教材改编)已知反比例函数$y= \frac{4}{x}$.
(1)若点$(2,y_{1}),(4,y_{2})$在该图象上,则$y_{1}$＞$y_{2}$；
(2)若点$(-2,y_{3}),(-4,y_{4})$在该图象上,则$y_{3}$＜$y_{4}$；
(3)若点$(-2,y_{5}),(4,y_{6})$在该图象上,则$y_{5}$＜$y_{6}$.

答案：
(1)＞
(2)＜
(3)＜

【变式1】已知点$A(-4,y_{1}),B(-2,y_{2}),C(1,y_{3})均在反比例函数y= \frac{k^{2}+1}{x}$的图象上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是(D)
A.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
C.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$

答案： D

【例题2】函数$y= -\frac{6}{x}$的图象如图所示,结合图象回答：

(1)当$-3\leq x\leq -1$时,$y$的取值范围是$2≤y≤6$；
(2)当$y＞2$时,$x$的取值范围是$-3＜x＜0$.

答案：
(1)$2≤y≤6$
(2)$-3＜x＜0$

【变式2】如图,它是反比例函数$y= \frac{k}{x}$图象的一支.

(1)$k=$12；
(2)当$x$＞4时,$y$是小于3的正数；
(3)当$2＜x\leq 3$时,求$y$的取值范围.

答案：
(1)12
(2)＞4
(3)解:当$x=2$时,$y=6$;当$x=3$时,$y=\frac {12}{x}=4$.由函数图象可知,当$2＜x≤3$时,y的取值范围为$4≤y＜6$.

【例题3】如图,直线$y_{1}= ax+b与双曲线y_{2}= \frac{k}{x}交于A(2,2),B(-1,-4)$两点.

(1)当$x=-1$或$x=2$时,$y_{1}= y_{2}$；
(2)当$-1＜x＜0$或$x＞2$时,$y_{1}＞y_{2}$；
(3)当$x＜-1$或$0＜x＜2$时,$ax+b＜\frac{k}{x}$.

答案：
(1)$x=-1$或$x=2$
(2)$-1＜x＜0$或$x＞2$
(3)$x＜-1$或$0＜x＜2$

【变式3】如图,反比例函数$y_{1}= \frac{3}{x}$的图象与一次函数y_{2}= kx+b的图象相交于A,B两点,若y_{1}＜y_{2},则x的取值范围是(B)

A.$1＜x＜3$
B.$x＜0或1＜x＜3$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞3或0＜x＜1$

答案： B

1. 已知反比例函数$y= \frac{2}{x}$,当$x＞0$时,$y$＞0,这部分图象在第一象限,$y随x$的增大而减小.

答案： ＞ 一 减小

2. 点$(1,y_{1}),(2,y_{2}),(3,y_{3}),(4,y_{4})$在反比例函数$y= \frac{4}{x}$图象上,则$y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$中最小的是(D)
A.$y_{1}$
B.$y_{2}$
C.$y_{3}$
D.$y_{4}$

答案： D

3. 对于反比例函数$y= -\frac{6}{x}$,当$-1\leq x＜0$时,$y$的取值范围是(D)
A.$y＜-6$
B.$-6\leq y＜0$
C.$0＜y\leq 6$
D.$y\geq 6$

答案： D

4.如图,直线y =x+1 与双曲线y =$\frac kx$上交于A(2,m),B(-3,n)两点,则当y₁>y₂ 时,x 的取值范围是（B）

A. $x＞-3或0＜x＜2$
B. $-3＜x＜0或x＞2$
C. $x＜-3或0＜x＜2$
D. $-3＜x＜2$

答案： B

5. (2024·揭阳期末)已知$(-5,y_{1})(-1,y_{2}),(2,y_{3})都在双曲线y= \frac{k}{x}(k＞0)$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是(C)
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
C.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
D.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$

答案： C

6. 已知点$(1,3),(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})在反比例函数y= \frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象上,若$x_{1}＜x_{2}＜0$,则$y_{1}$＞$y_{2}$.(选填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞

7. 已知反比例函数$y= \frac{2+k}{x}$的图象经过点A(1,-8).
(1)求$k$的值；-10
(2)它的图象位于第二、四象限,在各象限内,$y随x$的增大而增大；
(3)判断点$B(-2,6),C(-4,2)$是否在这个函数的图象上；点B不在图象上，点C在图象上
(4)当$-4\leq x\leq -\frac{1}{2}$时,求$y$的取值范围.$2\leq y\leq 16$

答案： 解:
(1)把点$A(1,-8)$代入反比例函数$y=\frac {2+k}{x}$,得$k=-10$;
(2)二、四 增大
(3)$\because y=-\frac {8}{x}$,当$x=-2$时,$y=4$;当$x=-4$时,$y=2$,
∴点B不在图象上,点C在图象上;
(4)当$x＜0$时,y随x的增大而增大,$\because$当$x=-4$时,$y=2$;当$x=-\frac {1}{2}$时,$y=16$,
∴$2≤y≤16$.

8. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB:y= x-2与反比例函数y= \frac{k}{x}的图象交于A,B$两点,与$x轴相交于点C$,已知点$A,B的坐标分别为(3n,n)和(m,-3)$.
(1)求反比例函数的解析式；
解:把点$A(3n,n)$代入直线$y=x-2$,得$n=3n-2$,解得$n=1$,∴点A的坐标为$(3,1)$,$\because$反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象过点A,∴$k=3×1=3$,∴反比例函数的解析式为$y=$$\frac{3}{x}$;
(2)请直接写出不等式$x-2＞\frac{k}{x}$的解集；
解:把点$B(m,-3)$代入直线$y=x-2$,得$-3=m-2$,解得$m=-1$,∴点B的坐标为$(-1,-3)$,观察函数图象,得不等式$x-2＞\frac {k}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$.

答案： 解:
(1)把点$A(3n,n)$代入直线$y=x-2$,得$n=3n-2$,解得$n=1$,
∴点A的坐标为$(3,1)$,$\because$反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象过点A,
∴$k=3×1=3$,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac {3}{x}$;
(2)把点$B(m,-3)$代入直线$y=x-2$,得$-3=m-2$,解得$m=-1$,
∴点B的坐标为$(-1,-3)$,观察函数图象,得不等式$x-2＞\frac {k}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$.