《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题3】二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象如图所示,那么下列说法正确的是(B)
A. $a＞0,b＞0,c＞0$
B. $a＜0,b＞0,c＞0$
C. $a＜0,b＞0,c＜0$
D. $a＜0,b＜0,c＞0$

答案： B

【变式3】如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c的对称轴是直线x= 1$,下列结论：
①$abc＞0$；②$b^{2}-4ac＞0$；③$8a+c＜0$；④$5a+b+2c＞0$,正确的有(B)
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案： B 解析:由抛物线的开口向下可得:a＜0,根据抛物线的对称轴在y轴右边可得:a,b异号,所以b＞0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c＞0,
∴abc＜0,故①错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b²-4ac＞0,故②正确;
∵直线x=1是抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴,所以- $\frac{b}{2a}$ =1,可得b=-2a,由图象可知,当x=-2时,y＜0,即4a-2b+c＜0,
∴4a-2×(-2a)+c＜0,即8a+c＜0,故③正确;由图象可知,当x=2时,y=4a+2b+c＞0;当x=-1时,y=a-b+c＞0,两式相加得,5a+b+2c＞0,故④正确;
∴结论正确的是②③④共3个,故选B.

1. 如图,二次函数$y_{1}= x^{2}+2x与一次函数y_{2}= x+2$的图象相交于两点,观察图象回答下列问题：
(1) 当$x=$-2或0时,$y_{1}= 0$；
(2) 当x＜-2或x＞0时,$y_{1}＞0$；
(3) 当-2＜x＜1时,$y_{1}＜y_{2}$。

答案： 1.
(1)-2或0
(2)x＜-2或x＞0
(3)-2＜x＜1 

2. 求抛物线$y= x^{2}-x-6$与x轴的交点坐标。

答案： 2.解:
∵抛物线与x轴相交,
∴x²-x-6=0,(x-3)(x+2)=0,解得x₁=3,x₂=-2,
∴该抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(3,0).

3. 如图,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象与y轴交于点$A(0,2)$,且经过点$B(4,2)$,则关于x的不等式$ax^{2}+bx+c＞2$的解集为______0＜x＜4。

答案： 3.0＜x＜4 

4. 如图,二次函数$y= -x^{2}+x+2及一次函数y= x+m$,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数,当直线$y= x+m$与新图象有4个交点时,m的取值范围是(D)

A. $-3＜m＜\frac {1}{4}$
B. $1≤m＜\frac {25}{4}$
C. $-2＜m＜1$
D. $-3＜m＜-2$

答案： 4.D 解析:如图,
∵y=-x²+x+2=-$(x-\frac{1}{2})$²+$\frac{9}{4}$,令y=-x²+x+2=0,则x=-1或x=2,
∴A(-1,0),B(2,0),将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,其解析式为y=-(-x²+x+2)=x²-x-2(-1≤x≤2),
∵直线y=x+m与新抛物线有4个交点,
∴①当直线y=x+m过点B时,则交点有3个,此时m=-2;②当直线y=x+m与新抛物线相切时,则x²-x-2=x+m,整理,得x²-2x-(2+m)=0,Δ=(-2)²+4×(2+m)=0,解得m=-3,如图所示,当直线y=x+m在两条直线之间时,有4个交点,此时m的范围为:-3＜m＜-2.故选D.

5. 如图,直线$y_{1}= -x+m与抛物线y_{2}= ax^{2}+bx-3相交于A(-1,0),B(2,-3)$两点。
(1) 求m的值和抛物线的解析式；
m的值为-1，抛物线的解析式为$y_{2}=x^{2}-2x-3$
(2) 当$-x+m＞ax^{2}+bx-3$时,自变量x的取值范围是______-1＜x＜2。

答案：
(1)解:
∵直线y₁=-x+m过点A(-1,0),
∴1+m=0,解得m=-1.
∵抛物线y₂=ax²+bx-3过点A(-1,0),B(2,-3),
∴$\begin{cases}a-b-3=0,\\4a+2b-3=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y₂=x²-2x-3.
(2)-1＜x＜2