《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(人教九上P149教材改编)综合与实践
π的估计
图1是一个七等分圆盘,随意向其投掷一枚飞镖,假设飞镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等.由于各个小扇形大小一样,因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为$\frac {3}{7},\frac {2}{7},\frac {2}{7}$.这里概率的大小是各颜色区域的面积在整个区域的面积中所占的比.

一般地,如果在一次试验中,结果落在区域D中每一点都是等可能的,用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件,那么事件A发生的概率为$P(A)= \frac {M的面积}{D的面积}$.
图2是一个正方形及其内切圆,随机地往正方形内投一粒米,落在圆内的概率为$P(A)= \frac {圆的面积}{正方形的面积}= \frac {π}{4}$.
(1)随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上,统计并计算落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n的比$\frac {m}{n}$(如表).
(2)$\frac {m}{n}$和$\frac {π}{4}$之间有什么关系?某次试验的数据如表所示.你能用它们之间的关系估计出π的值吗?
$\frac{m}{n} \approx \frac{\pi}{4}$。理由如下：$\frac{m}{n}$是撒一把米，落在圆内的频率；$\frac{\pi}{4}$是撒一把米，落在圆内的概率。频率在一定程度上反映了事件发生的可能性的大小，尽管进行一连串试验，所得到的频率可以各不相同，但只要$n$相当大，频率与概率是会非常接近。依题意，得$\frac{m}{n} = \frac{800}{1000} = 0.8$，又$\because \frac{m}{n} \approx \frac{\pi}{4}$，$\therefore \pi \approx \frac{4m}{n} = \frac{4 × 800}{1000} = 3.2$。
(3)为了提高π的估计精度,你认为还可以怎么做?
为了提高$\pi$的估计精度，可以增加米的数量。(答案不唯一)

答案： 解：
(2) $\frac{m}{n} \approx \frac{\pi}{4}$。理由如下：
$\frac{m}{n}$是撒一把米，落在圆内的频率；$\frac{\pi}{4}$是撒一把米，落在圆内的概率。频率在一定程度上反映了事件发生的可能性的大小，尽管进行一连串试验，所得到的频率可以各不相同，但只要$n$相当大，频率与概率是会非常接近。
依题意，得$\frac{m}{n} = \frac{800}{1000} = 0.8$，
又$\because \frac{m}{n} \approx \frac{\pi}{4}$，$\therefore \pi \approx \frac{4m}{n} = \frac{4 × 800}{1000} = 3.2$。
(3) 为了提高$\pi$的估计精度，可以增加米的数量。(答案不唯一)