《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$BC = 4$,$CD = 2$,以 $AD$ 为直径的半圆 $O$ 与 $BC$ 相切于点 $E$,连接 $BD$,则阴影部分的面积为____(结果保留 $\pi$)。

答案：
π 解析:如图,连接OE.
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,
∴OD=2,OE⊥BC,
∴四边形OECD为正方形.
∴$\overparen{DE}$,线段EC,CD所围成的图形面积为$S_{正方形OECD}-S_{扇形EOD}=2^{2}-\frac{90π\cdot2^{2}}{360}=4-π$.
∴$S_{阴}=\frac{1}{2}×2×4-(4-π)=π$.

2. 如图,在扇形 $OAB$ 中,半径 $OA$ 的长为 $3$,点 $C$ 在弧 $AB$ 上,连接 $AC$,$BC$,$OC$。若四边形 $OBCA$ 为菱形,则图中阴影部分的面积为____$\frac{3}{2}π$。

答案： $\frac{3}{2}π$ 解析:
∵四边形OBCA为菱形,
∴OB=BC=OC=AC=OA=3,
∴∠BOC=60°,△OBC≌△OCA,
∴$S_{阴}=S_{扇形OBC}=\frac{60π×3^{2}}{360}=\frac{3}{2}π$.

3. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$AD = 3$,$AB = 6$,$\angle A = 30^{\circ}$,以点 $A$ 为圆心,$AD$ 的长为半径画弧交 $AB$ 于点 $E$,连接 $CE$,则阴影部分的面积为$\frac{27-3π}{4}$。

答案： $\frac{27-3π}{4}$

4. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为 $1$,每个小正方形的顶点叫格点,$\triangle ABC$ 的三个顶点均在格点上,以点 $A$ 为圆心的 $\overset{\frown}{EF}$ 与 $BC$ 相切于点 $D$,分别交 $AB$,$AC$ 于点 $E$,$F$。
(1) 求 $\triangle ABC$ 三边的长；
(2) 求图中由线段 $EB$,$BC$,$CF$ 及 $\overset{\frown}{EF}$ 所围成的阴影部分的面积。

答案：
解:
(1)由题可得$AB=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$,$AC=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$,$BC=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}$;
(2)由
(1)可得$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,
∴∠BAC=90°.如图,连接AD,则$AD=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$,
∴$S_{阴}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC-\frac{1}{4}π\cdot AD^{2}=20-5π$.

1. 如图,在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中,以点 $B$ 为圆心,$AB$ 为半径画弧,交对角线 $BD$ 于点 $E$,则图中阴影部分的面积是(C)

A.$8 - \pi$
B.$16 - 2\pi$
C.$8 - 2\pi$
D.$8 - \frac{1}{2}\pi$

答案： C

2. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,弦 $AC = 2$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,则图中阴影部分的面积是$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$(结果保留 $\pi$)。

答案： $\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$