《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = \dfrac{1}{3}x^{2}-4x + 2$的顶点的横坐标是(D)
A.-12
B.12
C.-6
D.6

答案： D

2. 抛物线$y = x^{2}+mx + n的顶点坐标为(2,1)$,则$m = $-4,$n = $5.

答案： -4 5 解析: $ \because y = x^{2} + mx + n $ 的顶点坐标为 $ (2, 1) $, $ \therefore $ 根据顶点坐标公式 $ (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a}) $ 可得: $ -\frac{m}{2} = 2 $, $ m = -4 $; $ \frac{4n - (-4)^{2}}{4} = 1 $, $ n = 5 $.

3. 已知点$(-1,y_{1})$,$(2,y_{2})$,$(3,y_{3})在二次函数y = -x^{2}+4x + c$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系正确的是(D)
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

答案： D 解析:由题知 $ a ＜ 0 $, 所以函数的图象开口向下, 对称轴为直线 $ x = 2 $, 所以 $ y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2} $. 故选 D.

4. 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的对称轴为x = -2$,下列结论正确的是(C)

A.$a＜0$
B.$c＞0$
C.当$x＜-2$时,$y随x$的增大而减小
D.当$x＞-2$时,$y随x$的增大而减小

答案： C 解析: $ \because $ 图象开口向上, $ \therefore a ＞ 0 $, 故 A 不正确; $ \because $ 图象与 $ y $ 轴交于负半轴, $ \therefore c ＜ 0 $, 故 B 错误; $ \because $ 抛物线开口向上, 对称轴为直线 $ x = -2 $, $ \therefore $ 当 $ x ＜ -2 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小, $ x ＞ -2 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大, 故 C 正确, D 错误. 故选 C.

5. (核心素养练)已知抛物线$y = x^{2}+mx + 2m - m^{2}$的对称轴为直线x = 1.
(1) 求$m$的值；-2
(2) 求出此抛物线的顶点坐标.(1, -9)

答案： 解:
(1) $ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $, 由题意, 得 $ a = 1 $, $ b = m $,
$ \therefore $ 将其代入 $ x = -\frac{b}{2a} $, 得 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{m}{2×1} = 1 $, 解得 $ m = -2 $;
(2) 把 $ m = -2 $ 代入 $ y = x^{2} + mx + 2m - m^{2} $, 可得 $ y = x^{2} - 2x - 8 $, 将 $ a = 1 $, $ b = -2 $, $ c = -8 $ 代入 $ y = \frac{4ac - b^{2}}{4a} $, 得 $ y = \frac{4×1×(-8) - (-2)^{2}}{4×1} = -9 $,
$ \therefore $ 抛物线的顶点坐标为 $ (1, -9) $.