《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. (1) 扇形的定义: 由两条半径及其夹弧所围成的封闭图形;
(2) 图中圆的面积=$\pi r^{2}$, 扇形OAB占整个圆的$\frac{n}{360}$;
(3) 扇形面积=$\frac{n\pi r^{2}}{360}$.
B. 扇形面积与弧长之间的关系: $ S_{扇形} = \frac{nπr^{2}}{360} = \frac{1}{2} \cdot \frac{nπr}{180} \cdot $$r$=$\frac{1}{2}lr$. (常作为求扇形面积的第二种公式)

答案： $\pi r^{2}$ $\frac{n}{360}$ $\frac{n\pi r^{2}}{360}$ $r$ $\frac{1}{2}lr$

【例题1】扇形的半径为2,圆心角为$ 90^{\circ} $,则该扇形的面积为____π(结果保留π).

答案： $\pi$

【变式1】若扇形的圆心角为$ 120^{\circ} $,半径长为2cm,求扇形的面积.
解：$S_{扇}=\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{120×4\pi}{360}=$$\frac{4\pi}{3}cm^{2}$。

答案： 解：$S_{扇}=\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{120×4\pi}{360}=\frac{4\pi}{3}cm^{2}$。

【例题2】一个扇形的面积为$ 4π cm^{2} $,半径为4cm,则扇形的圆心角= ____$90^{\circ}$.

答案： $90^{\circ}$

【变式2】一个扇形的圆心角为$ 60^{\circ} $,面积为$ 9π cm^{2} $,扇形的半径=$3\sqrt{6}$cm.

答案： $3\sqrt{6}$

【例题3】如图,已知$ \odot O $的半径为2,$ ∠AOB = 90^{\circ} $,求图中阴影部分的面积.

解：$\because\odot O$的半径为2，
　　$\angle AOB = 90^{\circ}$，
　$\therefore S_{扇形OAB}=\frac{90\pi×2^{2}}{360}=$$\pi$。
　$\because S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×2×2 = $2。
　$\therefore S_{阴}=S_{扇形OAB}-S_{\triangle AOB}=$$\pi - 2$。

答案： 解：$\because\odot O$的半径为2，
　　$\angle AOB = 90^{\circ}$，
　$\therefore S_{扇形OAB}=\frac{90\pi×2^{2}}{360}=\pi$。
　$\because S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
　$\therefore S_{阴}=S_{扇形OAB}-S_{\triangle AOB}=\pi - 2$。

【变式3】如图,正方形ABCD的边长为2cm,以B点为圆心,AB长为半径作弧,求阴影部分的面积.

解：$\because S_{正}=2×2 = 4cm^{2}$，$S_{扇}=\frac{90\pi×2^{2}}{360}=\pi cm^{2}$，
　　$\therefore S_{阴}=$$(4 - \pi)cm^{2}$。

答案： 解：$\because S_{正}=2×2 = 4cm^{2}$，$S_{扇}=\frac{90\pi×2^{2}}{360}=\pi cm^{2}$，
　　$\therefore S_{阴}=(4 - \pi)cm^{2}$。

【例题4】证明: $ S_{扇} = \frac{1}{2} l_{\overset{\frown}{AB}} \cdot r $.
证明: $ ∵ S_{扇} = $$\frac{n\pi r^{2}}{360}$, ①
$ l_{\overset{\frown}{AB}} = $$\frac{n\pi r}{180}$, ②
①÷②,得$\frac{S_{扇}}{l_{\overset{\frown}{AB}}}=\frac{1}{2}r$,
$ ∴ S_{扇} = \frac{1}{2} l_{\overset{\frown}{AB}} r $.
注意: 此公式可类比三角形面积公式理解记忆.

答案： $\frac{n\pi r^{2}}{360}$ $\frac{n\pi r}{180}$ $\frac{S_{扇}}{l_{\overset{\frown}{AB}}}=\frac{1}{2}r$

【变式4】(1) 已知半径为2cm,弧长为5cm的扇形面积为5$ cm^{2} $;
(2) 半径为4的扇形面积为$ 4π $,求该扇形所对的弧长.2π

答案： 解：
(1)5 解析：$S_{扇}=\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×5×2 = 5$。
(2)解：由$S_{扇}=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×4l = 4\pi$，解得$l = 2\pi$。