《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】求下列抛物线与x轴的交点坐标,并填空归纳.
(1)抛物线y=x²-2x+1与x轴有______1______个交点,交点坐标是______(-1,0)______.
(2)抛物线y=x²+2x+1与x轴有______1______个交点,交点坐标是______(-1,0)______.
(3)抛物线y=x²+2x+3与x轴有______0______个交点.
归纳:
对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0),其对应的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b²-4ac.
①当Δ＞0时,抛物线与x轴有______2______个不同的交点;
②当Δ=0时,抛物线与x轴有______1______个交点(即两个______相等______的交点);
③当Δ＜0时,抛物线与x轴______没有______交点.

答案： ＞ = ＜ 1 -3 相等 -1 1 -3 -1 没有

【例题1】二次函数$y = -x^{2}+4x - 3$的图象与x轴有2个交点.

答案： 2

【变式1】抛物线$y = x^{2}-mx - 2$与x轴的交点个数是(C)
A. 无交点
B. 一个交点
C. 两个交点
D. 三个交点

答案： C

【例题3】已知二次函数$y = kx^{2}-7x - 7$的图象和x轴有交点,求k的取值范围.

答案： 解：
∵ $ y = kx^{2} - 7x - 7 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点，
∴ $ \Delta \geq 0 $，且 $ k \neq 0 $，即 $ \Delta = b^{2} - 4ac = (-7)^{2} - 4 × k × (-7) \geq 0 $，
解得 $ k \geq -\frac{7}{4} $ 且 $ k \neq 0 $。

【变式2】若函数$y = x^{2}+4x + 4a$的图象与x轴有且只有一个交点,求a的值.

答案： 解：
∵ 函数 $ y = x^{2} + 4x + 4a $ 的图象与 $ x $ 轴有且只有一个交点，
∴ $ \Delta = 0 $，即 $ \Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 × 1 × 4a = 0 $，解得 $ a = 1 $。