《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(跨学科融合)如图,一个底部呈球形的烧瓶,球的半径为5cm,瓶内液体的最大深度$CD= 2cm$.则截面圆中弦AB的长为(C)

A.$4\sqrt {2}cm$
B.6 cm
C.8 cm
D.8.4 cm

答案： C

2.(2024·阳江期末)(跨学科学习)如图,用一个半径为5cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了$108^{\circ }$,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了____3π____cm(结果保留π).

答案： $3\pi$

3.(综合运用)如图所示,$\odot O的直径AB= 8$,点D是半圆上的一动点(点D不与点A,B重合),点C是$\widehat {BD}$的中点,过点C作$CE⊥AD$交射线AD于点E,连接CD,BC.
(1)求证:CE是$\odot O$切线;
(2)当$∠BCD= 150^{\circ }$时,求图中阴影部分的面积;
(3)在点D运动过程中,设$AD= x,DE= y$,求y与x之间的函数关系式,并求出$AD\cdot DE$的最大值.

答案：

(1) 证明：如图，连接 $OC$，$AC$。

∵ $C$ 是 $ \overparen{BD} $ 的中点，
∴ $ \overparen{BC} = \overparen{CD} $。
∴ $ \angle BAC = \angle CAD $。
∵ $OA = OC$，
∴ $ \angle BAC = \angle OCA $。
∴ $ \angle CAD = \angle OCA $。
∴ $OC // AD$。
又
∵ $CE \perp AD$，
∴ $OC \perp CE$。
∵ $OC$ 是 $ \odot O $ 的半径，
∴ $CE$ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2) 解：如图，过点 $C$ 作 $CF \perp AB$ 于点 $F$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是 $ \odot O $ 的内接四边形，$ \angle BCD = 150^{\circ} $，
∴ $ \angle BAD = 180^{\circ} - \angle BCD = 30^{\circ} $。
由
(1) 知 $OC // AD$，
∴ $ \angle BOC = \angle BAD = 30^{\circ} $。
∵ $AB = 8$，
∴ $OC = OB = 4$。
∴ $CF = \frac{1}{2}OC = 2$。
∴ $S_{\text{阴影}} = S_{\text{扇形}BOC} - S_{\triangle BOC} = \frac{30\pi × 4^{2}}{360} - \frac{1}{2} × 4 × 2 = \frac{4\pi}{3} - 4 $。
(3) 解：
∵ $CE \perp AD$，$CF \perp AB$，
∴ $ \angle AEC = \angle AFC = 90^{\circ} $。
∵ $C$ 是 $ \overparen{BD} $ 的中点，
∴ $ \overparen{CD} = \overparen{BC} $。
∴ $CD = BC$，$ \angle EAC = \angle FAC $。
又
∵ $AC = AC$，
∴ $ \triangle ACE \cong \triangle ACF (AAS) $。
∴ $AE = AF$，$CE = CF$，
∵ $CD = BC$，
∴ $ \text{Rt} \triangle CDE \cong \text{Rt} \triangle CBF (HL) $，
∴ $BF = DE$，
∵ $AB = AF + FB = AE + DE = AD + 2DE$，
又
∵ $AD = x$，$DE = y$，
∴ $x + 2y = 8$，
∴ $y = 4 - \frac{1}{2}x$，
∴ $AD \cdot DE = xy = x(4 - \frac{1}{2}x) = -\frac{1}{2}x^{2} + 4x = -\frac{1}{2}(x - 4)^{2} + 8 $，
∴ 当 $x = 4$ 时，$AD \cdot DE$ 的最大值为 $8$。