《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. $ x $人互赠礼物,每个人要送$\underline{\quad\quad}$份礼物,共送$\underline{\quad\quad}$份礼物;
B. $ x $人两两握手,每个人要握$\underline{\quad\quad}$次手,共要握$\underline{\quad\quad}$次手.

答案： $(x - 1)$ $x(x - 1)$ $(x - 1)$ $\frac{1}{2}x(x - 1)$

1.(1)3人互赠礼物,每个人要送$\underline{\quad\quad}$份礼物,共送$\underline{\quad\quad}$份礼物;
(2)3人两两握手,每个人要握$\underline{\quad\quad}$次手,共要握$\underline{\quad\quad}$次手.

答案： 1.
(1)2 6
(2)2 3

【例题1】杭州亚运会乒乓球比赛中,国乒揽获除女双项目外的6块金牌,展现了在乒乓球领域强大的统治力.乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛),比赛总场数为380场,若设参赛队伍有$ x $支,则可列方程为(B)
A. $\frac{1}{2}x(x - 1) = 380$
B. $x(x - 1) = 380$
C. $2x(x - 1) = 380$
D. $x^{2} = 380$

答案： 【例题1】B

【变式1】某次足球比赛中,每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛,所以共组织了20场比赛,则共有几支足球队参加?

答案： 【变式1】解:设这次比赛共有x支足球队参加.
依题意,得$x(x - 1) = 20$,
整理,得$x^{2} - x - 20 = 0$,
即$(x - 5)(x + 4) = 0$,
解得$x_{1} = 5$,$x_{2} = - 4$(舍去).
答:共有5支足球队参加.

【例题2】会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了21次手,求参加这次会议的人数.

答案： 【例题2】解:设参加这次会议的人数为x.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x - 1) = 21$,
整理,得$x^{2} - x - 42 = 0$,
即$(x - 7)(x + 6) = 0$,
解得$x_{1} = 7$,$x_{2} = - 6$(舍去).
答:参加这次会议的人数为7.

【变式2】在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,共签订了6份合同,则有多少家公司参加了这次交易会?

答案： 【变式2】解:设有x家公司参加了这次交易会.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x - 1) = 6$,
整理,得$x^{2} - x - 12 = 0$,
即$(x + 3)(x - 4) = 0$,
解得$x_{1} = 4$,$x_{2} = - 3$(舍去).
答:共有4家公司参加了这次交易会.

【例题3】两条直线相交最多有一个交点,三条直线两两相交最多有3个交点.
(1)四条直线两两相交最多有$\underline{\quad\quad}$个交点;
(2)若$ x $条直线两两相交最多有55个交点,求$ x $的值.

答案： 【例题3】解:
(1)6
(2)依题意,得$\frac{1}{2}x(x - 1) = 55$,
整理、化简,得$x^{2} - x - 110 = 0$,
即$(x - 11)(x + 10) = 0$,
解得$x_{1} = 11$,$x_{2} = - 10$(舍去).
$\therefore x = 11$.

【变式3】一条直线上,有两个点就可以构成1条线段,有三个点可以构成3条线段.
(1)有四个点可以构成$\underline{\quad\quad}$条线段;
(2)若$ m $个点构成28条线段,求$ m $的值.

答案： 【变式3】
(1)6
(2)解:依题意,得$\frac{1}{2}m(m - 1) = 28$,
整理,得$(m - 8)(m + 7) = 0$,
解得$m = 8$或$m = - 7$(舍去).
$\therefore m = 8$.

要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间要比赛两场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排了7天,每天安排6场比赛,则参赛的队伍有$\underline{\quad\quad}$7个.

答案： $7$

1.(2024·中山模拟)某班学生毕业时,每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念,全班学生共写了930份留言.如果全班有$ x $名学生,根据题意,列出方程为(D)
A.$\frac{x(x - 1)}{2} = 930$
B.$\frac{x(x + 1)}{2} = 930$
C.$x(x + 1) = 930$
D.$x(x - 1) = 930$

答案： 1.D

2.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,若一共碰杯55次,则参加酒会的有$\underline{\quad\quad}$11人.

答案： 2.11