《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 在平面直角坐标系中,点$(2025,1)$关于原点对称的点的坐标是(D)
A.$(-2025,1)$
B.$(2025,-1)$
C.$(1,2025)$
D.$(-2025,-1)$

答案： D

2. 小明作点$A关于y轴的对称点A_1$,再作点$A_1关于x轴的对称点A_2$,则点$A与点A_2$的位置关系是(C)
A.关于$x$轴对称
B.关于$y$轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不正确

答案： C

3. 若点$A(a - 1,-4)与点B(-3,1 - b)$关于原点对称,则$(a + b)^{2025}$的值为____1。

答案： 1

4. 已知点$P(a + 1,2a - 3)$关于原点的对称点在第二象限,则$a$的取值范围是$-1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。

答案： $-1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$

5. (人教九上P69教材改编)如图,已知点A的坐标为$(-2\sqrt{3},2),$点B的坐标为$\left(\dfrac{-2\sqrt{3}}{3},-2\right),$菱形ABCD的对角线交于坐标原点O,则点C的坐标为$(2\sqrt{3},-2)$,点D的坐标为$\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3},2\right)$。

答案： $(2\sqrt{3},-2)$ $(\frac{2\sqrt{3}}{3},-2)$

6. (2024·黄埔期末)如图,矩形$ABCD$中,顶点$A(0,4)$,$B(-2,0)$,$C(-4,1)$,将矩形$ABCD绕点O$逆时针旋转,每秒旋转$45^{\circ}$,则第100秒旋转结束时,点$D$的坐标为( )


A.$(-2,5)$
B.$(2,-5)$
C.$(1,-6)$
D.$(-2,-5)$

答案：
B 解析:解:$\because 360^{\circ} ÷ 45^{\circ} = 8$,
∴每旋转八次,点D的坐标重复出现.
$\because 100 ÷ 8 = 12\cdots\cdots4$,
∴第100秒旋转结束时点D的位置,与第4秒旋转结束时点D的位置相同.
连接AC和BD,

∵四边形ABCD是矩形,
∴AC和BD互相平分,$\therefore 0 + (-4) = -2 + x_{D},4 + 1 = 0 + y_{D},\therefore x_{D} = -2,y_{D} = 5$,
∴点D的坐标为$(-2,5)$.又$\because 45^{\circ} × 4 = 180^{\circ}$,
∴第4秒旋转结束时的点D与点$(-2,5)$关于坐标原点对称,
∴此时点D的坐标为$(2,-5)$.即第100秒旋转结束时,点D的坐标为$(2,-5)$.

7. 如图所示,已知$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3)$,$B(-6,0)$,$C(-1,0)$。
(1) 画出与$\triangle ABC关于点O成中心对称的图形\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 将$\triangle ABC绕坐标原点O逆时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle A_2B_2C_2$,画出图形,并直接写出点$A_2$的坐标。

答案：
解:
(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$为所作;
(2)如图,$△A_{2}B_{2}C_{2}$为所作,点$A_{2}$的坐标为$(-3,-2)$.

8. (核心素养)如图,直线$AB与x$轴,$y轴分别相交于A$,$B$两点,$A$,$B两点关于原点对称的点分别是A_1$,$B_1$。
(1) 在图中画出点$A_1$,$B_1$；
(2) 求直线$A_1B_1$的函数解析式；
(3) 判断直线$AB和A_1B_1$的位置关系。

答案：
解:
(1)如图所示;

(2)由
(1)得点$A_{1}$的坐标为$(1,0)$,点$B_{1}$的坐标为$(0,-2)$,设直线$A_{1}B_{1}$的函数解析式为$y = kx + b$,将点$A_{1}(1,0),B_{1}(0,-2)$代入$y = kx + b$,得$\begin{cases}k + b = 0,\\b = -2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = -2,\end{cases}$
$\therefore y = 2x - 2$,
∴直线$A_{1}B_{1}$的函数解析式为$y = 2x - 2$;
(3)设直线AB的函数解析式为$y_{1} = k_{1}x + b_{1}$,将点$A(-1,0),B(0,2)$代入$y = k_{1}x + b_{1}$,得$\begin{cases}-k_{1} + b_{1} = 0,\\b_{1} = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{1} = 2,\\b_{1} = 2,\end{cases}$
$\therefore y_{1} = 2x + 2$,
∴直线AB与直线$A_{1}B_{1}$平行.