《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

4. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的边长为 2,$ AD \perp BC $。$\triangle ADC$ 顺时针旋转后到达 $\triangle AEB$ 的位置。
(1) 旋转中心是点A；
(2) 旋转角是 $\angle$BAC$=\angle$EAD$=$60$^{\circ}$；
(3) $ BE = $1,$ AE = $$\sqrt{3}$；
(4) 连接 $ DE $,$\triangle ADE$ 是等边三角形。

答案：
(1)点A
(2)BAC EAD 60
(3)1 $\sqrt {3}$
(4)等边

5. 如图,在 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$ D $、$ E $ 分别为 $ AB $、$ AC $ 边上的中点,连接 $ DE $,将 $\triangle ADE$ 绕点 $ E $ 旋转 $ 180^{\circ} $ 得到 $\triangle CFE$,连接 $ AF $、$ CD $。
(1) 求证：四边形 $ ADCF $ 是菱形；
证明:∵将$△ADE$绕点E旋转$180^{\circ }$得到$△CFE$,
$\therefore AE=CE,DE=FE$,
$\therefore$四边形ADCF是平行四边形,
$\because D$、$E$分别为$AB$,$AC$边上的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,$\therefore DE// BC$,
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠AED=90^{\circ }$,
$\therefore DF⊥AC$,
$\therefore$四边形ADCF是菱形;
(2) 若 $ BC = 8 $,$ AC = 6 $,求四边形 $ ABCF $ 的周长。
解:在$Rt△ABC$中,$BC=8,AC=6$,
$\therefore AB=\sqrt {BC^{2}+AC^{2}}=10$,
$\because D$是$AB$边上的中点,
$\therefore AD=\frac {1}{2}AB=5$,
$\because$四边形ADCF是菱形,
$\therefore AF=FC=AD=5$,
$\therefore$四边形ABCF的周长$=BC+AB+AF+FC=8+10+5+5=$28.

答案：
(1)证明:
∵将$△ADE$绕点E旋转$180^{\circ }$得到$△CFE$,
$\therefore AE=CE,DE=FE$,
$\therefore$四边形ADCF是平行四边形,
$\because D$、$E$分别为$AB$,$AC$边上的中点,
$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,$\therefore DE// BC$,
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠AED=90^{\circ }$,
$\therefore DF⊥AC$,
$\therefore$四边形ADCF是菱形;
(2)解:在$Rt△ABC$中,$BC=8,AC=6$,
$\therefore AB=\sqrt {BC^{2}+AC^{2}}=10$,
$\because D$是$AB$边上的中点,
$\therefore AD=\frac {1}{2}AB=5$,
$\because$四边形ADCF是菱形,
$\therefore AF=FC=AD=5$,
$\therefore$四边形ABCF的周长$=BC+AB+AF+FC=8+10+5+5=28$.