《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程,叫做一元一次方程.
B. 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.
C. 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0).
D. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

答案： A.一 1
B.一 2 整式
C.$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$
D.左右两边相等

1. 下列方程是一元二次方程的是(B)
A.$ x + 3y = 9 $
B.$ x^{2} = 4 $
C.$ x^{2} + \frac{1}{x} = 0 $
D.$ x^{3} + x^{2} = 10 $

答案： B

2. 一元二次方程 $ 4x^{2} - x - 3 = 3x^{2} + x $ 整理成一般形式为$x^{2}-2x-3=0$.

答案： $x^{2}-2x-3=0$

3. 若-2是某个一元二次方程的一个根,则该一元二次方程可能是(D)
A.$ 3x^{2} - x + 2 = 0 $
B.$ x^{2} - 2x - 2 = 0 $
C.$ x^{2} + x + 2 = 0 $
D.$ x^{2} + x - 2 = 0 $

答案： D

【例题1】下列是一元二次方程的是(D)
A.$ \frac{1}{x^{2}} = 4 $
B.$ x^{2} - x + 4 $
C.$ x^{3} = 4 $
D.$ 5x^{2} + 7x = 8 $

答案： D

【变式1】(2024·河源期中)方程 $ (m - 2)x^{|m|} + 3mx + 1 = 0 $ 是关于x的一元二次方程,则(B)
A.$ m = \pm 2 $
B.$ m = -2 $
C.$ m = 2 $
D.$ m \neq \pm 2 $

答案： B

【例题2】请将一元二次方程 $ x(x + 3) = 1 $ 化为一般形式为：$x^{2}+3x-1=0$. 其中,二次项：$x^{2}$；一次项：$3x$；常数项：$-1$；二次项系数：$1$；一次项系数：$3$.

答案： $x^{2}+3x-1=0$ $x^{2}$ $3x$ $-1$ $1$ $3$

|一元二次方程|一般形式|a|b|c|
| $ 5x^{2} + 7 = x $ |$5x^{2}-x+7=0$|5|-1|7|
| $ x(x - 2) = 5 $ |$x^{2}-2x-5=0$|1|-2|-5|
| $ (x + 1)^{2} = 1 $ |$x^{2}+2x=0$|1|2|0|

答案： |一般形式|$a$|$b$|$c$|
|----|----|----|----|
|$5x^{2}-x+7=0$|$5$|$-1$|$7$|
|$x^{2}-2x-5=0$|$1$|$-2$|$-5$|
|$x^{2}+2x=0$|$1$|$2$|$0$|

【例题3】在数1,2,-2中,判断哪些数是方程 $ x^{2} + x = 2 $ 的根.

答案： 解：当$x=1$时，代入方程，得$1^{2}+1=2$，是方程的根；
当$x=2$时，代入方程，得$2^{2}+2=6$，不是方程的根；
当$x=-2$时，代入方程，得$(-2)^{2}-2=2$，是方程的根。
综上，$1$，$-2$是方程$x^{2}+x=2$的根。

【变式3】(人教九上P3教材改编)一元二次方程 $ x(x + 1) = 6 $ 的解是(D)
A.$ x_{1} = 2, x_{2} = 3 $
B.$ x_{1} = -2, x_{2} = -3 $
C.$ x_{1} = -2, x_{2} = 3 $
D.$ x_{1} = 2, x_{2} = -3 $

答案： D