《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】如图,$ AB // DE $,$ AC // DF $,点 $ B $,$ E $,$ C $,$ F $在同一条直线上。求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $。

证明：$\because AB // DE, AC // DF$，$\therefore \angle B = \angle DEF, \angle ACB = \angle F$，$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle DEF$。

答案： 证明：$\because AB // DE, AC // DF$，
$\therefore \angle B = \angle DEF, \angle ACB = \angle F$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle DEF$。

【变式1】如图,已知 $ AE $ 与 $ CF $ 相交于点 $ B $,$ \angle C = \angle E = 90^\circ $。求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle FBE $。
证明：$\because AE$与$CF$相交于点$B$，
$\therefore \angle ABC =$$\angle FBE$。
又$\because \angle C = \angle E$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle FBE$。

答案： 证明：$\because AE$与$CF$相交于点$B$，
$\therefore \angle ABC = \angle FBE$。
又$\because \angle C = \angle E$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle FBE$。

【例题2】如图,正方形 $ ABCD $ 中,点 $ E $,$ F $,$ G $ 分别在 $ AB $,$ BC $,$ CD $ 上,且 $ \angle EFG = 90^\circ $。求证：$ \triangle EBF \backsim \triangle FCG $。

答案： 证明：$\because$四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore \angle B = \angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEF + \angle BFE = 90^{\circ}$。
$\because \angle EFG = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BFE + \angle CFG = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEF = \angle CFG$，
$\therefore \triangle EBF \backsim \triangle FCG$。

【变式2】如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ DE \perp AM $ 于点 $ E $。求证：$ \triangle ADE \backsim \triangle MAB $。

证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore$$AD // BC$，
$\therefore$$\angle DAE = \angle AMB$。
又$\because$$\angle DEA = \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle MAB$。

答案： 证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD // BC$，
$\therefore \angle DAE = \angle AMB$。
又$\because \angle DEA = \angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle MAB$。

【例题3】如图,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,弦 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ P $,连接 $ CD $。求证：$ \triangle ABP \backsim \triangle DCP $。

证明：$\because \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AD}$，$\therefore \angle B = \angle C$。又$\because \angle APB = \angle DPC$，$\therefore \triangle ABP \backsim \triangle DCP$。

答案： 证明：$\because \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{AD}$，
$\therefore \angle B = \angle C$。
又$\because \angle APB = \angle DPC$，
$\therefore \triangle ABP \backsim \triangle DCP$。

【变式3】如图,延长圆内接四边形 $ ABCD $ 的边 $ AD $ 和边 $ BC $,相交于点 $ E $。求证：$ \triangle ABE \backsim \triangle CDE $。
证明：$\because$四边形$ABCD$为圆内接四边形，$\therefore \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$，且$\angle ADC + \angle CDE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle CDE$。又$\because \angle E = \angle E$，$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle CDE$。

答案： 证明：$\because$四边形$ABCD$为圆内接四边形，
$\therefore \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$，且$\angle ADC + \angle CDE = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle CDE$。
又$\because \angle E = \angle E$，
$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle CDE$。

1. 如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^\circ $,点 $ D $ 是 $ BC $ 上一点,$ DE \perp AB $,垂足为 $ E $。求证：$ \triangle DEB \backsim \triangle ACB $。

证明：$\because DE \perp AB$，$\therefore \angle DEB = \angle ACB = 90^{\circ}$。又$\because \angle B = \angle B$，$\therefore \triangle DEB \backsim \triangle ACB$。

答案： 证明：$\because DE \perp AB$，
$\therefore \angle DEB = \angle ACB = 90^{\circ}$。
又$\because \angle B = \angle B$，
$\therefore \triangle DEB \backsim \triangle ACB$。