《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的求根公式为$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $($ b^{2}-4ac\geqslant0 $),其中“$ b^{2}-4ac $”叫根的判别式,记作 $ \Delta $.
完成下面的解题过程：
用公式法解方程：$ 2x^{2}-3x - 2 = 0 $.
解：$ \because a = $2,$ b = $-3,$ c = $-2,
$ \therefore \Delta = b^{2}-4ac = $$ ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - 2 ) $$ = $25$ ＞ 0 $.
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = $$ \frac { - ( - 3 ) \pm \sqrt { 25 } } { 2 × 2 } $$ = $$ \frac { 3 \pm 5 } { 4 } $.
$ \therefore x_{1} = $2,$ x_{2} = $$ - \frac { 1 } { 2 } $.

答案： $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $
$1. 2 -3 -2 ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - 2 ) 25 \frac { - ( - 3 ) \pm \sqrt { 25 } } { 2 × 2 } \frac { 3 \pm 5 } { 4 } 2 - \frac { 1 } { 2 } $

【例题1】用公式法解方程：$ 3x^{2}-5x = 2 $.

答案： 解：原方程化为 $$ 3 x ^ { 2 } - 5 x - 2 = 0 $$，
∵ $$ a = 3 $$，$$ b = - 5 $$，$$ c = - 2 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 25 + 24 = 49 ＞ 0 $$，
∴ $$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 5 \pm \sqrt { 49 } } { 6 } = \frac { 5 \pm 7 } { 6 } $$，
∴ $$ x _ { 1 } = 2 $$，$$ x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 } $$.

【变式1】用公式法解方程：$ x^{2}-5x = -6 $.

答案： 解：原方程化为 $$ x ^ { 2 } - 5 x + 6 = 0 $$，
∵ $$ a = 1 $$，$$ b = - 5 $$，$$ c = 6 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 25 - 24 = 1 ＞ 0 $$，
∴ $$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 5 \pm \sqrt { 1 } } { 2 } = \frac { 5 \pm 1 } { 2 } $$，
∴ $$ x _ { 1 } = 3 $$，$$ x _ { 2 } = 2 $$.

【例题2】用公式法解方程：$ x^{2}-2x = 2x - 4 $.

答案： 解：原方程整理，得
x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 0 ，
∵ a = 1 ， b = - 4 ， c = 4 ，
∴$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 16 - 16 = 0 ，$
∴$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { b } { 2 a } = \frac { 4 } { 2 } = 2 .$

【变式2】用公式法解方程：$ x^{2} = 10x - 25 $.

答案： 解：原方程整理，得
x ^ { 2 } - 10 x + 25 = 0 ，
∵ a = 1 ， b = - 10 ， c = 25 ，
∴$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 100 - 100 = 0 ，$
∴$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = - \frac { b } { 2 a } = \frac { 10 } { 2 } = 5 .$

【例题3】用公式法解方程：$ x^{2}+5 = 2x $.

答案： 解：原方程化为 $$ x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0 $$，
∵ $$ a = 1 $$，$$ b = - 2 $$，$$ c = 5 $$，
∴ $$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 4 - 20 = - 16 ＜ 0 $$，
∴ 方程无实数解.

【变式3】用公式法解方程：$ x(x - 4) = 2x - 10 $.

答案： 解：原方程整理，得
x ^ { 2 } - 6 x + 10 = 0 ，
∵ a = 1 ， b = - 6 ， c = 10 ，
∴$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = 36 - 40 = - 4 ＜ 0 ，$
∴ 方程无实数解.