《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,已知一条斜坡AC,向上前进了10米,水平高度则升高了6米,那么坡比(即坡度)为____3:4.

答案： 1. $3:4$

2. 如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是$1:\sqrt {3}$,BC= 8m,则坡面AB的长度是16m.

答案： 2. 16

3. 如图,为测量一座山峰CF的高度,将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段,每一段山坡近似是“直”的,测得坡长AB= 800m,BC= 200m,斜坡AB的坡角为$30^{\circ }$,斜坡BC的坡度为$1:1$. 求山峰CF的高度(结果保留小数点后一位). (参考数据：$\sqrt {2}\approx 1.414,\sqrt {3}\approx 1.732$).

答案：
3. 解：如图，过点B作$BD \perp AF$于点D，则四边形BDFE为矩形。

$\therefore EF = BD$，
在$Rt \triangle ABD$中，$\angle BAD = 30^{\circ}$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 400m$，$\therefore EF = BD = 400m$。
$\because$ 斜坡BC的坡度为$1:1$，
$\therefore \tan \angle CBE = 1$。
$\therefore \angle CBE = 45^{\circ}$，
在$Rt \triangle BCE$中，$\sin \angle CBE = \frac{CE}{BC}$，$\therefore CE = BC \cdot \sin 45^{\circ} = 200 × \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 141.4m$，
$\therefore CF = CE + EF \approx 141.4 + 400 = 541.4m$。
答：山峰CF的高度约为$541.4m$。

4. 如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为20cm,宽为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡的坡度$i= 1:5$,求AC的长度.

答案：
4. 解：如图，过点B作$BD \perp AC$于点D，由题可知$BD = 60cm$，$AD = 60cm$。

$\because \tan \angle BCD = \frac{BD}{CD} = \frac{1}{5}$，
$\therefore CD = 300cm$，
$\therefore AC = DC - AD = 300 - 60 = 240cm$。

5. 日照间距系数反映了房屋日照情况. 如图①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数$=L:(H-H_{1})$,其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,$H_{1}$为北侧楼房底层窗台至地面高度. 如图②,山坡EF朝北,EF长为15m,坡度为$i= 1:0.75$,山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB,底部A到E点的距离为4m.
(1) 求山坡EF的水平宽度FH；
答：山坡EF的水平宽度FH为9m；
(2) 欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远？
答：底部C距F处至少30.75m远。

答案： 5. 解：
(1)在$Rt \triangle EFH$中，$\angle H = 90^{\circ}$，
$\therefore \tan \angle EFH = i = 1:0.75 = \frac{4}{3} = \frac{EH}{FH}$，
设$EH = 4x m$，则$FH = 3x m$，
$\therefore EF = \sqrt{EH^{2} + FH^{2}} = 5x m$，
$\because EF = 15m$，
$\therefore 5x = 15$，$x = 3$，
$\therefore EH = 4x = 12m$，$FH = 3x = 9m$。
即山坡EF的水平宽度FH为$9m$；
(2)$\because L = CF + FH + EA = CF + 9 + 4 = (CF + 13)m$，
$H = AB + EH = 23.9 + 12 = 35.9m$，$H_{1} = 0.9m$，
$\therefore$ 日照间距系数$= L:(H - H_{1}) = \frac{CF + 13}{35.9 - 0.9} = \frac{CF + 13}{35}$，
$\because$ 该楼的日照间距系数不低于$1.25$，
$\therefore \frac{CF + 13}{35} \geq 1.25$，
$\therefore CF \geq 30.75$。
答：底部C距F处至少$30.75m$远。