《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 方程$x(x+6)= 0$的解是(C)
A.$x= 0$
B.$x= -6$
C.$x= 0或x= -6$
D.$x= 0或x= 6$

答案： 1. C

2. 用因式分解法解一元二次方程.
(1)$2x^{2}-x= 0$；解：原方程整理，得$x(2x - 1) = 0$，$\therefore$$x = 0$或$2x - 1 = 0$，$\therefore x_1 =$$0$，$x_2 =$$\frac{1}{2}$；
(2)$x^{2}= \sqrt{3}x$.解：原方程移项，得$x^2 - \sqrt{3}x = 0$，$x(x - \sqrt{3}) = 0$，$\therefore$$x = 0$或$x - \sqrt{3} = 0$，$\therefore x_1 =$$0$，$x_2 =$$\sqrt{3}$。

答案： 2. 解：
(1) 原方程整理，得$x(2x - 1) = 0$，
$\therefore x = 0$或$2x - 1 = 0$，
$\therefore x_1 = 0$，$x_2 = \frac{1}{2}$；
(2) 原方程移项，得$x^2 - \sqrt{3}x = 0$，
$x(x - \sqrt{3}) = 0$，
$\therefore x = 0$或$x - \sqrt{3} = 0$，
$\therefore x_1 = 0$，$x_2 = \sqrt{3}$。

3. (人教九上P14教材改编)解一元二次方程：$x(x-3)-2(x-3)= 0$.

答案： 3. 解：原方程整理，得$(x - 3)(x - 2) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$或$x - 2 = 0$，
$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = 2$。

4. 解方程：$2x(x-3)= x-3$.

答案： 4. 解：原方程移项，得$2x(x - 3) - (x - 3) = 0$，
因式分解，得$(x - 3)(2x - 1) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$，或$2x - 1 = 0$，
$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = \frac{1}{2}$。

5. (原创题)解一元二次方程：$(y+1)(y-1)= 4$.

答案： 5. 解：原方程移项、整理，得$y^2 - 5 = 0$，
$(y + \sqrt{5})(y - \sqrt{5}) = 0$，
$\therefore y + \sqrt{5} = 0$或$y - \sqrt{5} = 0$，
$\therefore y_1 = -\sqrt{5}$，$y_2 = \sqrt{5}$。

6. (原创题)如果$x= 3$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+d^{2}-6d-3= 0$的一个根，求$d$及另一个根.
$d$的值为0或6，另一个根为-1.

答案： 6. 解：把$x = 3$代入方程，得
$3^2 - 6 + d^2 - 6d - 3 = 0$，
即$d^2 - 6d = 0$，
$d(d - 6) = 0$，$\therefore d = 0$或$d - 6 = 0$，
$\therefore d = 0$，$d = 6$。
把$d_1 = 0$或$d_2 = 6$代入方程，得
$x^2 - 2x - 3 = 0$，
$(x + 1)(x - 3) = 0$
$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
$\therefore d$的值为$0$或$6$，另一个根为$-1$。

7. 若分式$\frac{x^{2}+x}{x}$的值为0,则$x$的值为(B)
A.0
B.-1
C.1
D.0或-1

答案： 7. B

8. 若代数式$a(a-3)$与$2a-6$的值相等,则$a=$2或3.

答案： 8. 2或3

9. 阅读下列材料：
(1)将$x^{2}+2x-35$分解因式,我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①如图,竖分二次项与常数项：
$x^{2}= x\cdot x$,$-35= (-5)×(+7)$.
②交叉相乘,验中项：$7x-5x= 2x$.
③横向写出两因式：$x^{2}+2x-35= (x+7)(x-5)$.
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
(2)根据乘法原理：若$ab= 0$,则$a= 0或b= 0$.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)$x^{2}+5x+4= 0$；解：$(x + 1)(x + 4) = 0$，$\therefore x + 1 = 0$或$x + 4 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = -4$
(2)$x^{2}-6x-7= 0$；解：$(x + 1)(x - 7) = 0$，$\therefore x + 1 = 0$或$x - 7 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 7$
(3)$x^{2}-6x+8= 0$；解：$(x - 2)(x - 4) = 0$，$\therefore x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$
(4)$2x^{2}+x-6= 0$；解：$(2x - 3)(x + 2) = 0$，$\therefore 2x - 3 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -2$

答案： 9. 解：
(1) $x^2 + 5x + 4 = 0$，
$(x + 1)(x + 4) = 0$，
$\therefore x + 1 = 0$或$x + 4 = 0$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = -4$；
(2) $x^2 - 6x - 7 = 0$，
$(x + 1)(x - 7) = 0$，
$\therefore x + 1 = 0$或$x - 7 = 0$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 7$；
(3) $x^2 - 6x + 8 = 0$，
$(x - 2)(x - 4) = 0$，
$\therefore x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$；
(4) $2x^2 + x - 6 = 0$，
$(2x - 3)(x + 2) = 0$，
$\therefore 2x - 3 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -2$。