《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

7. (BS 八下 P90)[直角坐标系中的等边三角形旋转]如图,点 O 为平面直角坐标系的原点,点 A 在 x 轴上,$△OAB$是边长为 2 的等边三角形.
(1)写出$△OAB$各顶点的坐标;
(2)以点 O 为旋转中心,将$△OAB按顺时针方向旋转60^{\circ }$,得到$△OA'B'$,写出点$A',B'$的坐标.

答案：
解:
(1)如图,过点$B$作$BC⊥OA$于点$C$.

$\because \triangle AOB$是等边三角形,
且$OA=2$,
$\therefore OC=\frac {1}{2}OA=1$.
由勾股定理得
$BC=\sqrt {2^{2}-1^{2}}=\sqrt {3}$.
$\therefore A(-2,0)$,$B(-1,\sqrt {3})$,$O(0,0)$.
(2)如图1,

$\because ∠AOB=60^{\circ }$,$OA=OB$,
$\therefore$ 点$A'$与点$B$重合.
$\therefore A'(-1,\sqrt {3})$.
由旋转得$∠BOB'=60^{\circ }$,$OB=OB'$.
$\because ∠AOD=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BOD=30^{\circ }$.
$\therefore ∠DOB'=30^{\circ }$.
$\therefore BB'⊥OD$,$DB=DB'$.
$\therefore B'(1,\sqrt {3})$.

8. [从特殊到一般]
(1)(RJ 九上 P63)以原点为中心,把点$A(4,5)逆时针旋转90^{\circ }$,得到点 B. 求点 B 的坐标.
(2)(RJ 九上 P74)把点$P(x,y)绕原点分别顺时针旋转90^{\circ },180^{\circ },270^{\circ }和360^{\circ }$,点 P 的对应点的坐标分别是什么? 将结果填入下表.
|旋转的角度|$90^{\circ }$|$180^{\circ }$|$270^{\circ }$|$360^{\circ }$|
|----|----|----|----|----|
|对应点的坐标| | | | |

答案：
解:如图,分别过点$A$,$B$作$x$轴的垂线,垂足分别为$C$,$D$,

$\because A(4,5)$,$\therefore OC=4$,$AC=5$.
$\because$ 把点$A(4,5)$逆时针旋转$90^{\circ }$得到点$B$,
$\therefore OA=OB$,且$∠AOB=90^{\circ }$.
$\therefore ∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90^{\circ }$.
$\therefore ∠BOD=∠CAO$.
在$\triangle AOC$和$\triangle OBD$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠ACO=∠ODB\\ ∠OAC=∠BOD\\ OA=BO\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOC\cong \triangle OBD(AAS)$.
$\therefore OD=AC=5$,$BD=OC=4$.
$\therefore B(-5,4)$.
(2)$(y,-x)$ $(-x,-y)$ $(-y,x)$ $(x,y)$