《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图1所示,点$B$,$C$,$E$是同一直线上的

三个点,四边形$ABCD与四边形CEFG$都是正方形,连接$BG$,$DE$。
(1)探究$BG与DE$之间的数量关系,并证明你的结论；
(2)当正方形$CEFG绕点C$在平面内顺时针旋转到如图2所示的位置时,线段$BG和ED$有何关系？写出结论并证明。

答案：
解:
(1) $ BG = DE $. 证明如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ CEFG $ 是正方形,
∴ $ BC = DC $, $ CG = CE $,
$ \angle BCD = \angle ECG = 90 ^ { \circ } $.
在 $ \triangle BCG $ 和 $ \triangle DCE $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { B C = D C, } \\ { \angle B C G = \angle D C E, } \\ { C G = C E, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle B C G \cong \triangle D C E ( S A S ) $.
∴ $ B G = D E $.
(2) $ B G = DE $, 且 $ B G \perp D E $. 证明如下:
设 $ B G $ 交 $ C D $ 于 $ H $, $ B G $ 交 $ D E $ 于点 $ P $, 如图 2.

∵ 四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ CEFG $ 是正方形,
∴ $ B C = D C $, $ C G = C E $,
$ \angle B C D = \angle E C G = 90 ^ { \circ } $.
∴ $ \angle B C D + \angle D C G = \angle E C G + \angle D C G $,
即 $ \angle B C G = \angle D C E $.
在 $ \triangle B C G $ 和 $ \triangle D C E $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { B C = D C, } \\ { \angle B C G = \angle D C E, } \\ { C G = C E, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle B C G \cong \triangle D C E ( S A S ) $.
∴ $ B G = D E $, $ \angle C B G = \angle C D E $.
又
∵ $ \angle C B G + \angle B H C = 90 ^ { \circ } $,
∴ $ \angle C D E + \angle D H G = 90 ^ { \circ } $.
∴ $ \angle D P H = 90 ^ { \circ } $.
∴ $ B G \perp D E $.

2.【变式练习】(2024·滑县期末)给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形。
(1)在你学过的四边形中,写出一种勾股四边形的名称：______正方形(答案不唯一)；
(2)如图,将$\triangle ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60^{\circ}得到\triangle DBE$,连接$AD$,$DC$,$CE$,已知$\angle DCB = 30^{\circ}$。
①$\angle BCE$的度数是______$60^{\circ}$；
②判断四边形$BDCE$是否为勾股四边形,并说明理由。

答案： 解:
(1) 正方形(答案不唯一)
(2) ① $ 60 ^ { \circ } $
② 四边形 $ BDCE $ 是勾股四边形. 理由如下:
由旋转得 $ B C = B E $,
$ \angle C B E = 60 ^ { \circ } $,
∴ $ \triangle B C E $ 为等边三角形.
∴ $ \angle B C E = 60 ^ { \circ } $.
∵ $ \angle D C B = 30 ^ { \circ } $,
∴ $ \angle D C E = 90 ^ { \circ } $.
在 $ R t \triangle D C E $ 中,
$ D C ^ { 2 } + C E ^ { 2 } = D E ^ { 2 } $,
∴ 四边形 $ BDCE $ 是勾股四边形.