《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

9. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD的顶点D在y$轴上,$A$,$C两点的坐标分别为(2,0)$,$(2,m)$,直线$CD:y_1 = ax + b$与双曲线：$y_2 = \frac{k}{x}交于C$,$P(-4,-1)$两点。
(1)求双曲线$y_2的函数解析式及m$的值；双曲线$y_2$的函数解析式为$y_2 = \frac{4}{x}$，$m$的值为2
(2)判断点$B$是否在双曲线上,并说明理由；点$B$在双曲线上
(3)当$y_1 ＞ y_2$时,请直接写出$x$的取值范围。$- 4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$

答案： 解:
(1)将点P$( - 4, - 1)$代入$y_2 = \frac{k}{x}$中，得$k = - 4 × ( - 1) = 4$，
∴反比例函数的解析式为$y_2 = \frac{4}{x}$.
　将点C$(2,m)$代入$y = \frac{4}{x}$中，得$m = \frac{4}{2} = 2$.
(2)点B在双曲线上；理由如下:
∵四边形ABCD是菱形，
　A$(2,0)$，C$(2,2)$，
∴B$(4, \frac{1}{2}m)$，
∴B$(4,1)$.
　由
(1)知双曲线的解析式为$y_2 = \frac{4}{x}$，
∵$4 × 1 = 4$，
∴点B在双曲线上.
(3)由
(1)知C$(2,2)$.
　由图象知，当$y_1 ＞ y_2$时，x的取值范围为$- 4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$.

10. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y = kx + b与x轴相交于点A(-2,0)$,与反比例函数$y = \frac{a}{x}的图象在第一象限内相交于点B(2,3)$。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线$x = m(m ＞ 2)与反比例函数y = \frac{a}{x}(x ＞ 0)和y = -\frac{2}{x}(x ＞ 0)的图象分别相交于点C$,$D$,且$S_{\triangle OBC} = 2S_{\triangle OCD}$,求点$C$的坐标。

答案：
解:
(1)将A$( - 2,0)$和B$(2,3)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} - 2k + b = 0 \\ 2k + b = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = \frac{3}{4} \\ b = \frac{3}{2} \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}$
　将B$(2,3)$代入$y = \frac{a}{x}$，得$\frac{a}{2} = 3$，解得$a = 6$，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{6}{x}$.
(2)将$x = m$分别代入$y = \frac{6}{x}$和$y = - \frac{2}{x}$，得
　点C的坐标为$(m, \frac{6}{m})$，
　点D的坐标为$(m, - \frac{2}{m})$，
∴$S_{\triangle OCD}$
　$= \frac{1}{2}[\frac{6}{m} - ( - \frac{2}{m})] \cdot m = 4$.
　又
∵$S_{\triangle OBC} = 2S_{\triangle OCD}$，
∴$S_{\triangle OBC} = 8$.
　如图,设直线CD与x轴的交点为M，过点B作x轴的垂线，垂足为N，
　　　　
∵$S_{\triangle BON} + S_{梯形BNMC} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COM}$且$S_{\triangle BON} = S_{\triangle COM}$，
∴$S_{梯形BNMC} = S_{\triangle BOC} = 8$.
∴$\frac{(\frac{6}{m} + 3) \cdot (m - 2)}{2} = 8$，
　解得$m_1 = 6$，$m_2 = - \frac{2}{3}$，
∵$m ＞ 2$，
∴$m = 6$，
∴$\frac{6}{m} = 1$.
∴点C的坐标为$(6,1)$.