《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

知识3 相似三角形的判定3
若两个三角形的两组对应边的比相等,并且这两边的夹角相等,则这两个三角形相似.
几何语言:如图,
∵$\frac {AB}{A'B'}=\frac {CA}{C'A'}$,
$∠A=∠A'$,
∴$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$.

答案： 相等 相等
$\frac {AB}{A'B'}=\frac {CA}{C'A'}$ $∠A=∠A'$
$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$

5. 如图,根据条件证明图中两个三角形相似.

答案： 证明：$\because \frac {AB}{DE}=\frac {3}{6}=\frac {1}{2},$
$\frac {AC}{DF}=\frac {4}{8}=\frac {1}{2},$
$\therefore \frac {AB}{DE}=\frac {AC}{DF}.$
又$\because ∠A=∠D=90^{\circ },$
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEF.$

6. 如图,$A E与B D相交于点C$. 求证:图中两个三角形相似.

答案： 证明：$\because \frac {BC}{DC}=\frac {40}{60}=\frac {2}{3},$
$\frac {AC}{EC}=\frac {20}{30}=\frac {2}{3},$
$\therefore \frac {BC}{DC}=\frac {AC}{EC}.$
又$\because ∠ACB=∠ECD,$
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EDC.$

7. 如图,根据所给条件证明图中两个三角形相似.
证明：$\because \frac {AD}{AB}=\frac {2}{2+4}=\frac {1}{3},$$\frac {AE}{AC}=\frac {3}{3+6}=\frac {1}{3},$$\therefore \frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}.$又$\because ∠A=∠A,$$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC.$

答案： 证明：$\because \frac {AD}{AB}=\frac {2}{2+4}=\frac {1}{3},$
$\frac {AE}{AC}=\frac {3}{3+6}=\frac {1}{3},$
$\therefore \frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}.$
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC.$

8. 如图,$D, E, F分别是\triangle A B C$三边的中点.
求证:$\triangle A B C \backsim \triangle F E D$.

答案： 证明：$\because D,E,F$分别是$\triangle ABC$三边的中点，
$\therefore DE,DF,EF$分别是$\triangle ABC$的中位线.
$\therefore DE=\frac {1}{2}CB,DF=\frac {1}{2}CA,$
$EF=\frac {1}{2}BA.$
$\therefore \frac {DE}{CB}=\frac {DF}{CA}=\frac {EF}{BA}=\frac {1}{2}.$
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle FED.$

9. 如图,点$D在A B$上,如果$A C^{2}= A D \cdot A B$,那么$\triangle A C D与\triangle A B C$相似吗? 为什么?
相似. 理由如下：
$\because AC^{2}=AD\cdot AB,$
$\therefore \frac {AC}{AB}=\frac {AD}{AC}.$
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore \triangle ACD\backsim \triangle ABC.$

答案： 解：相似. 理由如下：
$\because AC^{2}=AD\cdot AB,$
$\therefore \frac {AC}{AB}=\frac {AD}{AC}.$
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore \triangle ACD\backsim \triangle ABC.$

10. 【原创题】如图,正方形$A B C D$的边长为4,$B F= 1, E为A B$中点.
(1)证明图中一对相似三角形;
(2)求证:$D E \perp E F$.

答案：
(1)解：$\triangle ADE\backsim \triangle BEF.$
证明如下：$\because E$为$AB$中点，
$\therefore AE=BE=2.$
$\therefore \frac {AE}{BF}=\frac {2}{1},\frac {AD}{BE}=\frac {4}{2}=\frac {2}{1}.$
$\therefore \frac {AE}{BF}=\frac {AD}{BE}=2.$
又$\because ∠A=∠B,$
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle BEF.$
(2)证明：$\because \triangle ADE\backsim \triangle BEF,$
$\therefore ∠ADE=∠BEF.$
$\therefore ∠DEF$
$=180^{\circ }-∠AED-∠BEF$
$=180^{\circ }-∠AED-∠ADE$
$=∠A=90^{\circ }.$
$\therefore DE⊥EF.$

11. 【易错题】【分类讨论】如图,在$\triangle A B C$中,$\angle C= 90^{\circ}, B C= 8 \mathrm{~cm}, A C= 6 \mathrm{~cm}$,点$Q从B$出发,沿$B C方向以2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$的速度移动,点$P从C$出发,沿$C A方向以1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$的速度移动,若点$Q, P分别同时从B, C$出发,经过$\frac {12}{5}$或$\frac {32}{11}$秒后,以点$C, P, Q为顶点的三角形与\triangle C B A$相似.

答案： $\frac {12}{5}$或$\frac {32}{11}$