《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

9. (2024·镇江)关于$x的一元二次方程x^{2}+6x+m= 0$有两个相等的实数根,则$m$的值为9。

答案： 9

10. 【易错题】已知一元二次方程$(k-2)x^{2}-4x+2= 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围为$k＜4$且$k≠2$。

答案： $k＜4$且$k≠2$

11. 例 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+mx-1= 0$,求证：无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：$a=1$，$b=m$，$c=-1$。$\Delta =b^{2}-4ac=m^{2}-4×1×(-1)=m^{2}+4$。
∵$m^{2}≥0$，
∴$\Delta =m^{2}+4＞0$。
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。

12. (2024·东莞期中)已知关于$x的方程x^{2}-(k+3)x+2k+2= 0$。求证：方程总有两个实数根。

答案： 证明：$a=1$，$b=-(k+3)$，$c=2k+2$。$\Delta =b^{2}-4ac=[-(k+3)]^{2}-4×1×(2k+2)=k^{2}+6k+9-8k-8=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$，
∴方程总有两个实数根。

13. (RJ九上P17改编)已知关于$x的一元二次方程(x-3)(x-2)-m^{2}= 0$。求证：无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根。(提示：先化为一般形式,$c= 6-m^{2}$)
证明：原方程化为一般形式为$x^{2}-5x+6-m^{2}=0$。$\Delta =$$(-5)^{2}-4×1×(6-m^{2})$$=$$25-24+4m^{2}$$=$$1+4m^{2}$。∵$m^{2}≥0$，∴$\Delta =1+4m^{2}＞0$。∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。

答案： 证明：原方程化为一般形式为$x^{2}-5x+6-m^{2}=0$。$\Delta =(-5)^{2}-4×1×(6-m^{2})=25-24+4m^{2}=1+4m^{2}$。
∵$m^{2}≥0$，
∴$\Delta =1+4m^{2}＞0$。
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。

14. (2024·南沙区月考)已知平行四边形$ABCD的两边AB$,$AD的长是关于x的一元二次方程x^{2}-8x+m= 0$的两个实数根。
(1)若$AB= 5$,则$m= $15。
(2)$m$为何值时,平行四边形$ABCD$是菱形？∵平行四边形ABCD是菱形，∴$AB=AD$。∵关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$有两个相等的实数根。∴$\Delta =(-8)^{2}-4×1·m=0$，解得$m=16$。答：m为16时，平行四边形ABCD是菱形。

答案： 解：
(1)15
(2)
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴$AB=AD$。
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m=0$有两个相等的实数根。
∴$\Delta =(-8)^{2}-4×1·m=0$，解得$m=16$。答：m为16时，平行四边形ABCD是菱形。

15. 下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是(C)
A. $x^{2}+2025= 0$
B. $x^{2}-x+1= 0$
C. $x^{2}-2x-2025= 0$
D. $x^{2}-2x+1= 0$

答案： C

16. 已知$a$,$b$,$c$为常数,点$P(a,c)$在第四象限,则关于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0$的根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法判断

答案： A