《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

11. (2024·康平县月考)如图,以$□ ABCD的顶点A$为圆心,$AB$的长为半径作圆,分别交$AD$,$BC于点E$,$F$,延长$BA交\odot A于点G$. 求

证：$\overset{\frown}{GE} = \overset{\frown}{EF}$.

答案：
证明:如图,连接 $AF$,

$\because AB=AF,$
$\therefore ∠ABF=∠AFB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD// BC.$
$\therefore ∠DAF=∠AFB,$
$∠GAE=∠ABF.$
$\therefore ∠GAE=∠EAF.$
$\therefore \widehat {CE}=\widehat {EF}.$

12. 【易错题】如图,$AB是\odot O$的弦,$CD是\odot O$的直径,$AB ⊥ CD$,垂足为$G$,点$E在劣弧AB$上,连接$AE$,$BE$,$CE$.
(1)求证：$EC平分∠AEB$；
(2)连接$BC$,若$BC // AE$,且$CG = 4$,$AB = 6$,求$BE$的长.5

答案：
(1) 证明: $\because CD$ 是 $\odot O$ 的直径, $AB$ $⊥CD,$
$\therefore \widehat {AC}=\widehat {BC}.$
$\therefore ∠AEC=∠BEC.$
$\therefore EC$ 平分 $∠AEB.$
(2) 解: $\because AE// BC,$
$\therefore ∠AEC=∠ECB.$
$\because ∠AEC=∠BEC,$
$\therefore ∠ECB=∠BEC.$
$\therefore BE=BC.$
$\because CD$ 是 $\odot O$ 的直径,
$AB⊥CD,$
$\therefore BG=AG=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}\times6=3,$
$∠CGB=90^{\circ }.$
$\therefore BC=\sqrt {CG^{2}+BG^{2}}$
$=\sqrt {4^{2}+3^{2}}=5.$
$\therefore BE=BC=5.$

13. (RJ九上P90改编)如图,在$\odot O$中,点$P在劣弧AB$上,$A$,$P$,$B$,$C是\odot O$上的四个点,$∠APC = ∠CPB = 60^{\circ}$.
(1)判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)试探究线段$PA$,$PB$,$PC$之间的数量关系,并证明你的结论.

答案：
解:
(1)$△ABC$ 是等边三角形. 理由如下:
在 $\odot O$ 中,
$\because ∠BAC$ 与 $∠CPB$ 是 $\widehat {BC}$ 所对的圆周角,
$∠ABC$ 与 $∠APC$ 是 $\widehat {AC}$ 所对的圆周角,
$\therefore ∠BAC=∠CPB,$
$∠ABC=∠APC.$
又 $\because ∠APC=∠CPB=60^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=∠BAC=60^{\circ }.$
$\therefore △ABC$ 为等边三角形.
(2)$CP=BP+AP$. 证明如下:
如图,在 $PC$ 上截取 $PD=AP$, 连接 $AD$.

又 $\because ∠APC=60^{\circ },$
$\therefore △APD$ 是等边三角形.
$\therefore AD=AP=PD,∠ADP=60^{\circ },$
即 $∠ADC=120^{\circ }.$
又 $\because ∠APB=∠APC+∠BPC$
$=120^{\circ },$
$\therefore ∠ADC=∠APB.$
在 $△APB$ 和 $△ADC$ 中,
$\begin{cases} ∠APB=∠ADC,\\ ∠ABP=∠ACD,\\ AP=AD,\end{cases}$
$\therefore △APB\cong △ADC(AAS).$
$\therefore BP=CD.$
又 $\because PD=AP,$
$\therefore CP=BP+AP.$

14. (RJ九上P91)如图,铁路$MN和公路PQ在点O$处交会,$∠QON = 30^{\circ}$,在点$A$处有一栋居民楼,$AO = 200\mathrm{m}$. 如果火车行驶时,周围$200\mathrm{m}$以内会受到噪声的影响,那么火车在铁路$MN上沿ON$方向行驶时,居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为$72\mathrm{km/h}$,居民楼受噪声影响的时间约为多少秒？(不考虑火车长度,结果保留小数点后一位,参考数据：$\sqrt{3} ≈ 1.73$)

答案：
解:如图,过点 $A$ 作 $AB⊥MN$ 于点 $B$,

$\because ∠QON=30^{\circ },AO=200m,$
$\therefore AB=\frac {1}{2}OA=100(m).$
$\because 100＜200,$
$\therefore$ 居民楼会受到噪声的影响.
过点 $A$ 作 $AD=OA=200m,$
$\because AB⊥MN,$
$\therefore OB=BD.\therefore OD=2OB.$
在 $Rt△ABO$ 中,
$OB=\sqrt {OA^{2}-AB^{2}}=100\sqrt {3}(m),$
$\therefore OD=2OB=2\times100\sqrt {3}$
$=200\sqrt {3}(m).$
$\because$ 火车行驶的速度为
$72km/h=20m/s,$
$\therefore \frac{200\sqrt{3}}{20}=10\sqrt{3}\approx 17.3(s).$
$\therefore$ 居民楼受噪声影响的时间约为 $17.3s.$