《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

5. (2024·甘南州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2}+bx - 5(a\neq0)交x轴于A$,$C$两点,交$y轴于点B$,$5OA = OB = OC$。
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点$M$,使得$\triangle ABM$的周长最小,请求出点$M$的坐标；
(3)连接$BC$,$P是线段BC$上一点,过点$P作y轴的平行线交抛物线于点Q$,求当四边

形$OBQP为平行四边形时点P$的坐标。

答案：
解:
(1) 由抛物线的表达式知, $ c = -5 = y_B $,
$ \therefore OB = 5 = 5OA = OC $.
$ \therefore $ 点 $ A $, $ C $, $ B $ 的坐标分别为 $ (1, 0) $, $ (-5, 0) $, $ (0, -5) $.
把 $ A(1, 0) $, $ C(-5, 0) $ 分别代入 $ y = ax^2 + bx - 5 $, 得 $ \begin{cases} a + b - 5 = 0, \\ 25a - 5b - 5 = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = 4. \end{cases} $
$ \therefore $ 抛物线的表达式为 $ y = x^2 + 4x - 5 $.
(2) 如图, 设 $ BC $ 与抛物线的对称轴交于点 $ M $,

$ \because $ 点 $ A $ 关于抛物线的对称轴的对称点为 $ C $,
$ \therefore BC $ 与抛物线的对称轴的交点 $ M $ 即为所求, 此时 $ \triangle ABM $ 的周长最小.
$ C_{\triangle ABM} = AB + AM + BM = AB + CM + BM = AB + BC $ 为最小,
由点 $ B $, $ C $ 的坐标, 得直线 $ BC $ 的表达式为 $ y = -x - 5 $,
由抛物线的表达式知, 其对称轴为直线 $ x = -2 $,
当 $ x = -2 $ 时, $ y = -x - 5 = -3 $,
$ \therefore $ 点 $ M $ 的坐标为 $ (-2, -3) $.
(3) 设点 $ P(m, -m - 5) $,
则点 $ Q(m, m^2 + 4m - 5) $ 且 $ -5 ＜ m ＜ 0 $.
$ \therefore PQ = (-m - 5) - (m^2 + 4m - 5) = -m^2 - 5m $.
$ \because $ 四边形 $ OBQP $ 为平行四边形,
$ \therefore PQ = OB = 5 $.
$ \therefore -m^2 - 5m = 5 $,
解得 $ m_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2} $, $ m_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2} $.
当 $ m = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2} $ 时,
$ -m - 5 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2} $;
当 $ m = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2} $ 时,
$ -m - 5 = \frac{\sqrt{5} - 5}{2} $.
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (\frac{-5 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}) $ 或 $ (\frac{-5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 5}{2}) $.

6. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线$y = x^{2}-2x - 3过A$,$B$,$C$三点。
(1)求点$A$,$B$,$C$的坐标。
(2)点$M为x$轴上一动点,在抛物线上是否存在一点$N$,使以$A$,$C$,$M$,$N$四点构成的四边形为平行四边形？若存在,求出点$N$的坐标；若不存在,请说明理由。
(3)抛物线上是否存在点$P使得\angle PCA = 15^{\circ}$？若存在,请直接写出点$P$的横坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
解:
(1) $ \because $ 抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 过 $ A $, $ B $, $ C $ 三点,
$ \therefore C(0, -3) $,
令 $ y = 0 $, 即 $ x^2 - 2x - 3 = 0 $,
解得 $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -1 $.
$ \therefore B(-1, 0) $, $ A(3, 0) $.
(2) 设 $ M(m, 0) $, $ N(n, n^2 - 2n - 3) $,
① 当 $ MN $ 为对角线时, 有 $ \begin{cases} m + n = 3, \\ n^2 - 2n - 3 = -3, \end{cases} $
$ \therefore \begin{cases} m = 1, \\ n = 2, \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 0 \end{cases} $ (舍去).
$ \therefore N(2, -3) $;
② 当 $ MC $ 为对角线时, 有 $ \begin{cases} m = 3 + n, \\ -3 = n^2 - 2n - 3, \end{cases} $
$ \therefore \begin{cases} n = 2, \\ m = 5, \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} n = 0, \\ m = 3 \end{cases} $ (舍去).
$ \therefore N(2, -3) $;
③ 当 $ MA $ 为对角线时, 有 $ \begin{cases} m + 3 = n, \\ 0 = -3 + n^2 - 2n - 3, \end{cases} $
$ \therefore \begin{cases} n = 1 + \sqrt{7}, \\ m = \sqrt{7} - 2, \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} n = 1 - \sqrt{7}, \\ m = -\sqrt{7} - 2. \end{cases} $
$ \therefore N(1 + \sqrt{7}, 3) $ 或 $ (1 - \sqrt{7}, 3) $.
$ \therefore $ 综上所述, 存在, 点 $ N $ 的坐标为 $ (2, -3) $ 或 $ (1 + \sqrt{7}, 3) $ 或 $ (1 - \sqrt{7}, 3) $.
(3) 存在. 点 $ P $ 的横坐标是 $ 2 + \sqrt{3} $ 或 $ 2 + \frac{\sqrt{3}}{3} $. 如图所示.

① 当点 $ P $ 在直线 $ AC $ 下方时, 由
(1) 知 $ \angle OCA = 45^{\circ} $.
又 $ \because \angle PCA = 15^{\circ} $,
$ \therefore \angle OCP = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ} $,
即直线 $ PC $ 与 $ x $ 轴的夹角为 $ 30^{\circ} $,
则直线 $ PC $ 的解析式为 $ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 3 $.
由 $ \begin{cases} y = x^2 - 2x - 3, \\ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 3, \end{cases} $
解得 $ x = 0 $ (舍去) 或 $ x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3} $,
故点 $ P $ 的横坐标为 $ 2 + \frac{\sqrt{3}}{3} $;
② 当点 $ P $ (即 $ P' $) 在直线 $ AC $ 的上方时, 同理可得点 $ P' $ 的横坐标为 $ 2 + \sqrt{3} $.
综上所述, 点 $ P $ 的横坐标是 $ 2 + \frac{\sqrt{3}}{3} $ 或 $ 2 + \sqrt{3} $.