《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (2024·珠海校级期中改编)阅读与思考
下面是小牛同学的部分日记,请仔细阅读并完成相应的任务:
二次函数的应用
×年×月×日
今天在数学活动学习过程中遇到一个问题:下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是2,个位上的数的和等于10),$21×29,22×28,23×27,\cdot \cdot \cdot ,27×23,28×22,29×21$.
请你先猜想,积最大的是____×____,并说明理由.
猜想:积最大的是$25×25$.理由如下:
设两个乘数的积为$y$,其中一个乘数的个位上的数为$x$,则另一个乘数个位上的数为$(10 - x)$,依题意,得$y= (20 + x)[20 + (10 - x)]= (20 + x)(30 - x),\cdot \cdot \cdot$
任务:
(1)上面日记中的分析过程主要运用的数学思想是D;
A. 数形结合
B. 统计思想
C. 分类讨论
D. 函数思想
(2)请补全小牛的日记中的解题过程;
(3)【模型应用】有一组边长分别为$91,99;92,98;93,97;94,96;95,95$的矩形,它们中最大的面积是9025;
(4)下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数都是8,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100),$801×899,802×898,803×897,\cdot \cdot \cdot ,897×803,898×802,899×801$.用以上方法猜想其中哪个积最大,并说明理由.
解: (1) D
(2) $ y = (20 + x)[20 + (10 - x)] $
$ = (20 + x)(30 - x) $
$ = -x^{2} + 10x + 600 $
$ = -(x - 5)^{2} + 625 $,
$ \because -1 ＜ 0 $, $ \therefore $ 当 $ x = 5 $ 时, $ y $ 取最大值 625, 此时 $ 20 + x = 25 $, $ 20 + (10 - x) = 25 $,
$ \therefore $ 积最大的是 $ 25 × 25 $.
(3) 设矩形的边长为 $ (90 + x) $, $ (100 - x)(x = 1, 2, 3, 4, 5) $,
则矩形的面积
$ S = (90 + x)(100 - x) $
$ = -x^{2} + 10x + 9000 $
$ = -(x - 5)^{2} + 9025 $.
$ \because -1 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 5 $ 时, $ S $ 取最大值 9025.
故答案为 9025.
(4) 积最大的是 $ 850 × 850 $, 理由如下:
设两个乘数的积为 $ y $, 其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为 $ x $, 则另一个十位上的数与个位上的数组成的数为 $ (100 - x) $,
$ \therefore y = (800 + x)[800 + (100 - x)] $
$ = -x^{2} + 100x + 720000 $
$ = -(x - 50)^{2} + 722500 $.
$ \because -1 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 50 $ 时,
$ y $ 取最大值 722500.
此时 $ 800 + x = 850 $,
$ 800 + (100 - x) = 850 $,
$ \therefore $ 积最大的是 $ 850 × 850 $.

答案： 解:
(1) D
(2) $ y = (20 + x)[20 + (10 - x)] $
$ = (20 + x)(30 - x) $
$ = -x^{2} + 10x + 600 $
$ = -(x - 5)^{2} + 625 $,
$ \because -1 ＜ 0 $, $ \therefore $ 当 $ x = 5 $ 时, $ y $ 取最大值 625, 此时 $ 20 + x = 25 $, $ 20 + (10 - x) = 25 $,
$ \therefore $ 积最大的是 $ 25 \times 25 $.
(3) 设矩形的边长为 $ (90 + x) $, $ (100 - x)(x = 1, 2, 3, 4, 5) $,
则矩形的面积
$ S = (90 + x)(100 - x) $
$ = -x^{2} + 10x + 9000 $
$ = -(x - 5)^{2} + 9025 $.
$ \because -1 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 5 $ 时, $ S $ 取最大值 9025.
故答案为 9025.
(4) 积最大的是 $ 850 \times 850 $, 理由如下:
设两个乘数的积为 $ y $, 其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为 $ x $, 则另一个十位上的数与个位上的数组成的数为 $ (100 - x) $,
$ \therefore y = (800 + x)[800 + (100 - x)] $
$ = -x^{2} + 100x + 720000 $
$ = -(x - 50)^{2} + 722500 $.
$ \because -1 ＜ 0 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 50 $ 时,
$ y $ 取最大值 722500.
此时 $ 800 + x = 850 $,
$ 800 + (100 - x) = 850 $,
$ \therefore $ 积最大的是 $ 850 \times 850 $.