《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (2024·越秀区校级期中)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定,要求现学现用,更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.
定义:方程$cx^{2}+bx+a= 0是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的倒方程,其中$a,b,c$均不为0.请根据此定义解答下列问题:
(1)方程$-12x^{2}-x+1= 0$的倒方程是______$x^{2}-x-12=0$;
(2)若$x= 5是x^{2}-3x+c= 0$的倒方程的解,求出$c$的值$\frac{14}{25}$;
(3)若$m,n是一元二次方程x^{2}-5x-1= 0$的倒方程的两个不相等的实数根,求代数式$2n^{2}-mn-10m$的值53.

答案： 解：
(1) $ x^{2}-x-12=0 $
(2) 由题知，方程 $ x^{2}-3x+c=0 $ 的倒方程为 $ cx^{2}-3x+1=0 $，
将 $ x=5 $ 代入方程 $ cx^{2}-3x+1=0 $，得 $ 25c-15+1=0 $，解得 $ c=\frac{14}{25} $。
(3) 由题知，一元二次方程 $ x^{2}-5x-1=0 $ 的倒方程是 $ -x^{2}-5x+1=0 $，
∵ $ m,n $ 是方程 $ -x^{2}-5x+1=0 $ 的两个不相等的实数根，
∴ $ m+n=-5 $，$ mn=-1 $，$ -n^{2}-5n+1=0 $。
∴ $ n^{2}=-5n+1 $。
∴ $ 2n^{2}-mn-10m $
$ =2(-5n+1)-mn-10m $
$ =-10n+2-mn-10m $
$ =-10(m+n)-mn+2 $
$ =-10×(-5)-(-1)+2 $
$ =53 $。

2. (2024·白云区期中)【阅读材料1】
为解方程$(x^{2})^{2}-5x^{2}+4= 0$,我们可以将$x^{2}$看作一个整体,然后设$y= x^{2}$,那么原方程可化为$y^{2}-5y+4= 0$,经过运算,原方程的解是$x_{1}= 1,x_{2}= -1,x_{3}= 2,x_{4}= -2$.
我们将上述解题的方法叫换元法.
【阅读材料2】
已知实数$m,n满足m^{2}-m-1= 0,n^{2}-n-1= 0$,且$m≠n$,显然$m,n是方程x^{2}-x-1= 0$的两个不相等的实数根,由韦达定理可知$m+n= 1,mn= -1$.
根据上述材料,解答以下问题:
(1)直接应用:为解方程$x^{4}-x^{2}-6= 0$,可设$y= $$x^{2}$,原方程可化为$y^{2}-y-6=0$.经过运算,原方程的解是$x=±\sqrt{3}$;
(2)间接应用:已知实数$a,b满足a^{4}-3a^{2}+1= 0,b^{4}-3b^{2}+1= 0$,且$a≠b$,求$a^{4}+b^{4}$的值;
(3)(2024·中山期中节选)请参考【阅读材料1】解法,解下列方程:$x^{2}+2x-2\sqrt {x^{2}+2x}-3= 0$.

答案： 解：
(1) $ x^{2} y^{2}-y-6=0 $ $ x=±\sqrt{3} $
(2) 设 $ x^{2}-3x+1=0 $ 的两个根分别为 $ x_{1},x_{2} $，
则 $ x_{1}+x_{2}=3 $，$ x_{1}x_{2}=1 $。
∴ $ x_{1},x_{2} $ 不互为相反数。
∴ $ x_{1}^{2}≠x_{2}^{2} $。
∵ 实数 $ a,b $ 满足 $ a^{4}-3a^{2}+1=0 $，$ b^{4}-3b^{2}+1=0 $，且 $ a≠b $，
∴ $ a^{2}≠b^{2} $。
∴ $ a^{2},b^{2} $ 是方程 $ x^{2}-3x+1=0 $ 的两个根。
∴ $ a^{2}+b^{2}=3 $，$ a^{2}b^{2}=1 $。
∴ $ a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2} $
$ =3^{2}-2×1 $
$ =9-2 $
$ =7 $。
(3) 设 $ \sqrt{x^{2}+2x}=a $，则 $ a≥0 $。
原方程转化为 $ a^{2}-2a-3=0 $，
解得 $ a=-1 $（不合题意，舍去）或 $ a=3 $，
∴ $ \sqrt{x^{2}+2x}=3 $，
解得 $ x_{1}=-1-\sqrt{10} $，$ x_{2}=-1+\sqrt{10} $。
经检验，$ x_{1},x_{2} $ 满足二次根式的取值范围，
∴ 原方程的解为 $ x_{1}=-1-\sqrt{10} $，$ x_{2}=-1+\sqrt{10} $。