《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

7. 例 两个同心圆如图所示,大圆的弦AB与小圆相切于点C,OA交小圆于点D,若$OD= DA= 2$,求AB的长.

答案：
解：如图，连接OC，

∵AB与小圆相切，
∴OC⊥AB.
又
∵AB是大圆的弦，
∴AC=BC.
在直角三角形AOC中，
OC=OD=2，
AO=AD+OD=4，
∴AC=$\sqrt{AO^{2}−OC^{2}}$
=$\sqrt{4^{2}−2^{2}}=2\sqrt{3}$.
∴AB=2AC=4$\sqrt{3}$.

8.(RJ九上P102)如图,AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D. 求证：AC平分$∠DAB$.

答案：
证明：如图，连接OC，

∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC.
∵AD⊥CD，
∴AD//OC.
∴∠DAC=∠OCA.
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC.
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB.

9.(2024·山西)如图,已知$\triangle ABC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD. 若$∠AOD= 80^{\circ}$,求$∠C$的度数.
解：∵AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切，
∴AB⊥AC. ∴∠BAC=90°.
∵∠AOD=80°，∴∠ABC=40°.
∴∠C=90°−∠ABC=50°.

答案： 解：
∵AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切，
∴AB⊥AC.
∴∠BAC=90°.
∵∠AOD=80°，
∴∠ABC=40°.
∴∠C=90°−∠ABC=50°.

10. 如图,AB是$\odot O$的切线,A为切点,AC是弦,过点O作$OH⊥AC$于点H. 若$OH= 3$,$AB= 12$,$BO= 13$. 则：
(1)$OA= $5；
(2)$AC= $8.

答案：
(1)5
(2)8

11.【易错题】如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,AE与$\odot O$切于点A,求证：$∠B= ∠EAC$.

答案：
证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点B'，连接CB'，

∵AE与⊙O相切，
∴B'A⊥AE.
∴∠EAC+∠B'AC=90°.
∵AB'为直径，
∴∠ACB'=90°.
∴∠B'AC+∠B'=90°.
∴∠EAC=∠B'.
又
∵∠B'=∠B，
∴∠B=∠EAC.

12.【核心素养】如图,已知$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$DE⊥AC$于点E,DE与半圆O相切于点D. 求证：$\triangle ABC$是等边三角形.

答案：
证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
如图，连接OD，

∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°.
∵DE⊥AC，
∴OD//EC.
∴∠BDO=∠A.
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO.
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.