《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

8. (综合与实践·活动探究) 数学活动课上, 张老师给同学们出了一道题: 已知点 $M$ 在反比例函数 $y = \frac{12}{x}(x ＞ 0)$ 的图象上, 点 $N$ 在 $x$ 轴的正半轴上, $\triangle OMN$ 为等腰三角形, 且腰长为 5.
【观察发现】
(1) 如图, 小明在平面直角坐标系中已经画出其中两种情况 $(ON = MN, OM = MN)$, 请求出点 $N$ 的坐标.

【思考交流】
(2) 小丽说: $\triangle OMN$ 为等腰三角形还存在其他情况, 你认同小丽的说法吗? 若认同, 求出 $MN$ 的长; 若不认同, 请说明理由.
【拓展延伸】
(3) 张老师给同学们布置了一道课后作业, 若将题目中的条件“$\triangle OMN$ 为等腰三角形, 且腰长为 5”换为“$\triangle OMN$ 为等腰直角三角形”, 则 $MN$ 的长是多少?

答案：
解：
(1) 当 $ MN = ON = 5 $ 时，$ N(5, 0) $；如图 2，
　　　　
当 $ OM = MN = 5 $ 时，过点 $ M $ 作 $ MA \perp ON $ 于点 $ A $，设点 $ M $ 的横坐标为 $ a $。将 $ x = a $ 代入 $ y = \frac{12}{x} $，得 $ y = \frac{12}{a} $，$\therefore$ 点 $ M $ 的坐标为 $ (a, \frac{12}{a}) $。在 $ Rt\triangle AOM $ 中，$ OA^2 + AM^2 = OM^2 $，即 $ a^2 + (\frac{12}{a})^2 = 5^2 $，解得 $ a = 3 $ 或 $ a = 4 $（负值已舍去），$\therefore$ 当 $ a = 3 $ 时，点 $ N $ 的坐标为 $ (6, 0) $；当 $ a = 4 $ 时，点 $ N $ 的坐标为 $ (8, 0) $。综上所述，点 $ N $ 的坐标为 $ (5, 0) $ 或 $ (6, 0) $ 或 $ (8, 0) $。
(2) 认同小丽的说法。如图 3，

当 $ OM = ON $ 时，$ \triangle OMN $ 为等腰三角形，$ N(5, 0) $，过点 $ M $ 作 $ MB \perp ON $ 于点 $ B $，设点 $ M $ 的坐标为 $ (b, \frac{12}{b}) $。$\because OM = ON = 5 $，$\therefore$ 在 $ Rt\triangle OMB $ 中，$\sqrt{b^2 + (\frac{12}{b})^2} = 5 $，解得 $ b = 3 $ 或 $ b = 4 $（负值已舍去）。当 $ b = 3 $ 时，点 $ M $ 的坐标为 $ (3, 4) $，$\therefore OB = 3 $，$ MB = 4 $。$\therefore BN = 2 $。$\therefore MN = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5} $；当 $ b = 4 $ 时，点 $ M $ 的坐标为 $ (4, 3) $，$\therefore OB = 4 $，$ MB = 3 $。$\therefore BN = 1 $。$\therefore MN = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $。综上所述，$ MN $ 的长为 $ 2\sqrt{5} $ 或 $ \sqrt{10} $。
(3) 当 $ MO = MN $ 时，$ \angle OMN = 90^\circ $，$\because$ 点 $ M $ 在函数 $ y = \frac{12}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，易得 $ S_{\triangle OMN} = 12 $，$\therefore \frac{1}{2}OM \cdot MN = 12 $，即 $ MN^2 = 24 $。$\therefore MN = 2\sqrt{6} $；当 $ MN = ON $ 时，$ \angle MNO = 90^\circ $，$\because$ 点 $ M $ 在函数 $ y = \frac{12}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，$\therefore S_{\triangle OMN} = 6 $。$\therefore \frac{1}{2}ON \cdot MN = 6 $，即 $ MN^2 = 12 $。$\therefore MN = 2\sqrt{3} $。综上所述，$ MN $ 的长为 $ 2\sqrt{6} $ 或 $ 2\sqrt{3} $。