《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (2024·东台月考)阅读下面的问题及其解决途径,结合阅读内容,解答下列问题.
问题:将函数$y = 2x - 3的图象向右平移2$个单位长度,所得到的图象对应的函数表达式是什么?
解决途径:

(1)填写下面的空格.
问题:将函数$y = \frac{6}{x}的图象向左平移1$个单位长度,所得到的图象对应的函数表达式是什么?
解决途径:

(2)理解应用
将函数$y = 2x^{2}的图象向左平移1$个单位长度,求所得到的图象对应的函数表达式.
(3)灵活应用
如图,已知反比例函数$y = \frac{2}{x}的图象C与正比例函数y = ax(a \neq 0)的图象l相交于点A(1,m)和点B$.将函数$y = \frac{2}{x}的图象和直线AB同时向右平移n(n ＞ 0)$个单位长度,得到的图象分别记为$C_{1}和l_{1}$,已知图象$C_{1}经过点M(3,2)$.
①求出平移后的图象$l_{1}$对应的函数表达式;
②直接写出不等式$\frac{2}{x - 2} + 4 \leq ax$的解集.

答案：
解：
(1)$x + 1$ $y$ $y = \frac{6}{x + 1}$
(2)设平移后新的函数图象上任意点$P$的坐标为$(x,y)$。
将点$P$向右平移$1$个单位长度得到点$P'(x + 1,y)$，此时点$P'$在原函数图象上，
$\therefore$平移后的图象对应的函数表达式为$y = 2(x + 1)^2 = 2x^2 + 4x + 2$。
(3)①把$A(1,m)$代入$y = \frac{2}{x}$，
得$m = \frac{2}{1} = 2$，$\therefore A(1,2)$。
把$A(1,2)$代入$y = ax$，得$a = 2$，$\therefore y = 2x$。
$\because$反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图象与正比例函数$y = 2x$的图象的交点关于原点对称，
$\therefore$点$B$的坐标为$(-1,-2)$，
函数$y = \frac{2}{x}$的图象和直线$y = 2x$的图象向右平移$n(n ＞ 0)$个单位长度，得到的图象$C_1$的表达式为$y = \frac{2}{x - n}$，图象$l_1$的表达式为$y = 2(x - n)$，
把$M(3,2)$代入$y = \frac{2}{x - n}$，
得$\frac{2}{3 - n} = 2$，解得$n = 2$。
$\therefore$平移后的图象$l_1$对应的函数表达式为$y = 2(x - 2) = 2x - 4$。
②由①得，图象$C_1$的解析式为$y = \frac{2}{x - 2}$，$l_1$的解析式为$y = 2x - 4$，函数$y = \frac{2}{x}$的图象和直线$y = 2x$同时向右平移$2$个单位长度。
$\therefore A(1,2)$，$B(-1,-2)$平移后对应点的坐标分别为$A'(3,2)$，$B'(1,-2)$。画出图象$C_1$和直线$l_1$如图1所示。

观察图象可知，不等式$\frac{2}{x - 2} + 4 \leq ax$的解集为$1 \leq x ＜ 2$或$x \geq 3$。