《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

4. 如图,已知$∠BAE= ∠CAD,AB= 6,AC= 18,AE= 4,AD= 12$. 求证:$\triangle ABC\backsim \triangle AED$.

答案： 证明：
∵ $\angle BAE = \angle CAD$，
∴ $\angle BAE + \angle CAE = \angle CAD + \angle CAE$，
即 $\angle BAC = \angle EAD$。
∵ $\frac{AB}{AE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$，$\frac{AC}{AD} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$。
∴ $\triangle ABC \backsim \triangle AED$。

5. (2024·香洲区校级期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5$,P为边BC上一动点(不与点B,C重合),过点P作射线PM交AC于点M,$∠APM= ∠B,BC= 8$.
(1)求证:$\triangle ABP\backsim \triangle PCM$;

证明：∵ $AB = AC$，
∴ $\angle B = \angle C$。
∵ $\angle BAP + \angle B = \angle CPM + \angle APM$，
且 $\angle APM = \angle B$，
∴ $\angle BAP = \angle CPM$。
∴ $\triangle ABP \backsim \triangle PCM$。
(2)当$BP= 2$时,求CM的值.$\frac{12}{5}$

答案：
(1) 证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $\angle B = \angle C$。
∵ $\angle BAP + \angle B = \angle CPM + \angle APM$，
且 $\angle APM = \angle B$，
∴ $\angle BAP = \angle CPM$。
∴ $\triangle ABP \backsim \triangle PCM$。
(2) 解：
∵ $BC = 8$，$BP = 2$，
∴ $PC = 6$。
∵ $\triangle ABP \backsim \triangle PCM$，
∴ $\frac{AB}{PC} = \frac{BP}{CM}$，即 $\frac{5}{6} = \frac{2}{CM}$。
∴ $CM = \frac{12}{5}$。

6. 如图,在等边$\triangle ABC$中,P为BC上一点,D为AC上一点,且$∠APD= 60^{\circ },AB= 2$.
(1)求证:$\triangle ABP\backsim \triangle PCD$.
证明：∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，∴ $\angle B = \angle C = 60^{\circ}$。∵ $\angle APC = \angle APD + \angle CPD = \angle B + \angle BAP$，$\angle APD = 60^{\circ}$，∴ $\angle BAP = \angle CPD$。∴ $\triangle ABP \backsim \triangle PCD$。
(2)AD可能等于1吗? 为什么?
解：不可能。假设 $AD = 1$，∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，∴ $AC = BC = AB = 2$。∴ $CD = 1$。∵ $\triangle ABP \backsim \triangle PCD$，∴ $\frac{AB}{PC} = \frac{BP}{CD}$，即 $\frac{2}{2 - BP} = \frac{BP}{1}$。整理得 $BP^{2} - 2BP + 2 = 0$。$\Delta = (-2)^{2} - 4 × 2 = -4 ＜ 0$。∴ 该方程无实数根。∴ 若 $AB = 2$，则 $AD$ 不可能等于 $1$。

答案：
(1) 证明：
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle B = \angle C = 60^{\circ}$。
∵ $\angle APC = \angle APD + \angle CPD = \angle B + \angle BAP$，$\angle APD = 60^{\circ}$，
∴ $\angle BAP = \angle CPD$。
∴ $\triangle ABP \backsim \triangle PCD$。
(2) 解：不可能。假设 $AD = 1$，
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $AC = BC = AB = 2$。
∴ $CD = 1$。
∵ $\triangle ABP \backsim \triangle PCD$，
∴ $\frac{AB}{PC} = \frac{BP}{CD}$，即 $\frac{2}{2 - BP} = \frac{BP}{1}$。
整理得 $BP^{2} - 2BP + 2 = 0$。
$\Delta = (-2)^{2} - 4 \times 2 = -4 ＜ 0$。
∴ 该方程无实数根。
∴ 若 $AB = 2$，则 $AD$ 不可能等于 $1$。

7. 如图,$AB// CD,∠B= 90^{\circ }$,E为BC上一点,且$AE⊥ED$. 若$AB= 3,BE= 4,DC= 6$. 求DE的长.

解：∵ $AB // CD$，$\angle B = 90^{\circ}$，
∴ $\angle C = 90^{\circ}$，
$\angle BAE + \angle AEB = 90^{\circ}$。
∵ $AE \perp ED$，
∴ $\angle DEC + \angle AEB = 90^{\circ}$。
∴ $\angle BAE = \angle CED$。
∴ $\triangle ABE \backsim \triangle ECD$。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CD}$，∴ $\frac{3}{EC} = \frac{4}{6}$。
∴ $EC = \frac{9}{2}$。
在 $Rt\triangle ECD$ 中，
$DE = \sqrt{EC^{2} + DC^{2}}$
$= \sqrt{(\frac{9}{2})^{2} + 6^{2}} = $7.5。

答案： 解：
∵ $AB // CD$，$\angle B = 90^{\circ}$，
∴ $\angle C = 90^{\circ}$，
$\angle BAE + \angle AEB = 90^{\circ}$。
∵ $AE \perp ED$，
∴ $\angle DEC + \angle AEB = 90^{\circ}$。
∴ $\angle BAE = \angle CED$。
∴ $\triangle ABE \backsim \triangle ECD$。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CD}$，
∴ $\frac{3}{EC} = \frac{4}{6}$。
∴ $EC = \frac{9}{2}$。
在 $Rt\triangle ECD$ 中，
$DE = \sqrt{EC^{2} + DC^{2}}$
$= \sqrt{(\frac{9}{2})^{2} + 6^{2}} = 7.5$。