《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

8. (2024·中山月考)已知二次函数的图象经过点$A(1,2)且顶点坐标为P(2,3)$。
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若抛物线与$y轴交于点B$,求$\triangle PAB$的面积。

答案： 解:
(1) 设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 3(a \neq 0) $。把 $ A(1,2) $ 代入 $ y = a(x - 2)^2 + 3 $ 中，得 $ a(1 - 2)^2 + 3 = 2 $，解得 $ a = -1 $。
∴ 这个二次函数的解析式为 $ y = -(x - 2)^2 + 3 $。
(2) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = -(0 - 2)^2 + 3 = -1 $，即 $ B(0, -1) $，
∴ $ S_{\triangle PAB} = 2 \times 4 - \frac{1}{2} \times 2 \times 4 - \frac{1}{2} \times 1 \times 4 - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 $。

9. (1)(2024·中山月考)一抛物线的形状、开口方向与抛物线$y = - \frac{1}{2}x^2 - 4x$相同,顶点为(-3,2),则此抛物线的解析式为______$ y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 2 $；
(2)(2024·东莞校级期中)在平面直角坐标系xOy中,二次函数$y = x^2 + bx + c$图象的对称轴为直线x = 1,且它经过点A(3,0),求该二次函数的解析式和顶点坐标。解: ∵ 二次函数$ y = x^2 + bx + c $图象的对称轴为直线 x = 1 ，且它经过点 A(3,0) ，∴$ \begin{cases} -\frac{b}{2} = 1, \\ 9 + 3b + c = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} b = $-2, \\ c = -3$. \end{cases} $∴ 二次函数的解析式为 y = $x^2 - 2x - 3$ 。当 x = 1 时， y = -4 ，∴ 该二次函数的顶点坐标为 (1, -4) 。

答案： 解:
(1) $ y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 2 $
(2)
∵ 二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 图象的对称轴为直线 $ x = 1 $，且它经过点 $ A(3,0) $，
∴ $ \begin{cases} -\frac{b}{2} = 1, \\ 9 + 3b + c = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = -2, \\ c = -3. \end{cases} $
∴ 二次函数的解析式为 $ y = x^2 - 2x - 3 $。当 $ x = 1 $ 时，$ y = -4 $，
∴ 该二次函数的顶点坐标为 $ (1, -4) $。

10. (2024·扬州)如图,已知二次函数$y = - x^2 + bx + c的图象与x轴交于A(-2,0)$,$B(1,0)$两点。
(1)求$b$,$c$的值；$b=$-1,$c=$2

(2)若点$P$在该二次函数的图象上,且$\triangle PAB的面积为6$,求点$P$的坐标。点$P$的坐标为(-3,-4)或(2,-4)

答案： 解:
(1) 把 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $ 分别代入 $ y = -x^2 + bx + c $，得 $ \begin{cases} -4 - 2b + c = 0, \\ -1 + b + c = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = -1, \\ c = 2. \end{cases} $
(2) 由
(1) 知，二次函数解析式为 $ y = -x^2 - x + 2 $，设点 $ P $ 的坐标为 $ (m, -m^2 - m + 2) $。
∵ $ \triangle PAB $ 的面积为 6，$ AB = 1 - (-2) = 3 $，
∴ $ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2}AB \cdot |y_P| = \frac{1}{2} \times 3 \times | -m^2 - m + 2 | = 6 $。
∴ $ | -m^2 - m + 2 | = 4 $，即 $ -m^2 - m + 2 = 4 $ 或 $ -m^2 - m + 2 = -4 $。
∴ $ m = -3 $ 或 $ m = 2 $。
∴ 点 $ P $ 的坐标为 $ (-3, -4) $ 或 $ (2, -4) $。