《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

13. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x+k= 0$.
(1)若方程有一根为3,求方程的另一根.
(2)当$k$为何值时,方程有两个相等的实数根?

答案： 解:
(1)$∵3$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+k=0$的一个根,
∴方程的另一个根为
$2-3=-1$.
(2)若方程有两个相等的实数根,
则$\Delta =(-2)^{2}-4×1×k$
$=4-4k=0$,
解得$k=1$.
$\therefore k=1$时,方程有两个相等的实数根.

14. (2024·越秀区校级期中)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-5x+6-p^{2}= 0$.
(1)求证:无论$p$取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两实数根为$x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1}= 4x_{2}$,试求出$p$的值.

答案：
(1)证明:$a=1,b=-5,c=6-p^{2}$.
$\because \Delta =b^{2}-4ac$
$=(-5)^{2}-4(6-p^{2})$
$=4p^{2}+1＞0$,
∴无论$p$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:依题意,得
$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=5$,
$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=6-p^{2}$,
$\because x_{1}=4x_{2}$,
$\therefore 4x_{2}+x_{2}=5$,
$4x_{2}\cdot x_{2}=6-p^{2}$.
$\therefore x_{2}=1,p^{2}=2$.
$\therefore p=\pm \sqrt {2}$.

15. (2024·东莞校级月考)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2(k-1)x+k^{2}+1= 2$有实数根.
(1)求$k$的取值范围;$k≤1$
(2)若方程的两根$x_{1},x_{2}满足(x_{1}-2)(x_{2}-2)= 11$,求$k$的值.$-6$

答案： 解:
(1)依题意,得
$a=1,b=2(k-1),c=k^{2}-1$.
∵方程有实数根,
$\therefore \Delta =[2(k-1)]^{2}-4×1×(k^{2}-1)$
$=4k^{2}-8k+4-4k^{2}+4≥0$,
解得$k≤1$.
$\therefore k$的取值范围为$k≤1$.
(2)依题意,得
$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=-2(k-1)$,
$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=k^{2}-1$,
$\because (x_{1}-2)(x_{2}-2)=11$,
$\therefore x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4=11$.
$\therefore k^{2}-1+4(k-1)+4=11$,
解得$k_{1}=2,k_{2}=-6$.
$\because k≤1$,
$\therefore k$的值为$-6$.

16. (2024·香洲区期中)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4x+k-1= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$.
(1)求$k$的取值范围;
(2)若$x_{1},x_{2}$分别是一个矩形的长和宽.
①是否存在$k$,使得矩形的面积为10?若存在,请求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
②是否存在$k$,使得矩形的对角线长为$\sqrt{10}$? 若存在,请求出$k$的值;若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)依题意,得
$\Delta =(-4)^{2}-4(k-1)≥0$,
解得$k≤5$.
$\therefore k$的取值范围为$k≤5$.
(2)①不存在.理由如下:
∵矩形的面积为10,
$\therefore x_{1}x_{2}=k-1=10$,
解得$k=11$.
$\because k≤5$,
∴不存在实数$k$,使得矩形的面积为10.
②存在.根据根与系数的关系,得
$x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=k-1$,
∵矩形的对角线长为$\sqrt {10}$,
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(\sqrt {10})^{2}$.
$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=10$,
即$4^{2}-2(k-1)=10$,
解得$k=4$.