《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 例(2024·天河区校级期中)已知二次函数$y = x^{2}+bx - 2的图象经过点A(2,0)$,求这个二次函数的解析式。

答案： 【解析】：因为二次函数$y = x^{2}+bx - 2$的图象经过点$A(2,0)$，把$x = 2$，$y = 0$代入二次函数$y = x^{2}+bx - 2$中，可得$0=2^{2}+2b - 2$，即$0 = 4 + 2b - 2$，$0=2 + 2b$，移项可得$2b=-2$，解得$b=-1$。所以这个二次函数的解析式为$y = x^{2}-x - 2$。
【答案】：$y = x^{2}-x - 2$

2. (2024·东莞期中)已知二次函数$y = - 2x^{2}+bx + c的图象经过点A(0,4)和点B(1,-2)$。求该抛物线的解析式。

答案： 【解析】：因为二次函数$y = - 2x^{2}+bx + c$的图象经过点$A(0,4)$和点$B(1,-2)$。
把点$A(0,4)$代入$y = - 2x^{2}+bx + c$中，可得：
$4=-2\times0^{2}+b\times0 + c$，即$c = 4$。
把点$B(1,-2)$和$c = 4$代入$y = - 2x^{2}+bx + c$中，可得：
$-2=-2\times1^{2}+b\times1 + 4$，
$-2=-2 + b + 4$，
$-2=b + 2$，
解得$b=-4$。
所以该抛物线的解析式为$y=-2x^{2}-4x + 4$。
【答案】：$y=-2x^{2}-4x + 4$

3. 例(2024·天河区月考)已知二次函数的图象过三个点$(0,3)$,$(-1,0)$,$(3,0)$,求这个二次函数的解析式。

答案： 【解析】：设二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
因为函数图象过点$(0,3)$，$(-1,0)$，$(3,0)$，将这三个点分别代入解析式可得：
把$(0,3)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$c = 3$；
把$(-1,0)$，$c = 3$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$a - b + 3 = 0$ ①；
把$(3,0)$，$c = 3$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$9a+3b + 3 = 0$，化简得$3a + b+1 = 0$ ②；
①$+$②得：$a - b + 3+3a + b + 1 = 0$，
$4a+4 = 0$，
$4a=-4$，
解得$a=-1$；
把$a = - 1$代入①得：$-1 - b + 3 = 0$，
$2 - b = 0$，
解得$b = 2$。
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
【答案】：$y=-x^{2}+2x + 3$

4. (2024·蓬江区校级月考)二次函数的图象经过点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(2,-3)$。
(1)求该二次函数的解析式；
$y=x^{2}-2x - 3$
(2)当$-1 ＜ x ＜ 4$时,$y$的取值范围为______$-4\leqslant y\lt5$。

答案： 【解析】：1. （1）设二次函数的解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$（交点式），因为函数图象经过点$C(2,-3)$，把$x = 2$，$y=-3$代入$y = a(x + 1)(x - 3)$中，可得：
$-3=a\times(2 + 1)\times(2 - 3)$，即$-3=a\times3\times(-1)$，$-3=-3a$，解得$a = 1$。
所以二次函数的解析式为$y=(x + 1)(x - 3)=x^{2}-3x+x - 3=x^{2}-2x - 3$。
2. （2）先将二次函数$y=x^{2}-2x - 3$化为顶点式，$y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，所以该二次函数的对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
当$x=-1$时，$y=(-1)^{2}-2\times(-1)-3=1 + 2-3=0$；
当$x = 4$时，$y=4^{2}-2\times4-3=16-8 - 3=5$；
因为二次函数$y=(x - 1)^{2}-4$的二次项系数$a = 1\gt0$，所以抛物线开口向上，在对称轴$x = 1$处取得最小值$y=-4$。
又因为$x = 4$距离对称轴$x = 1$比$x=-1$距离对称轴$x = 1$远，所以当$-1\lt x\lt4$时，$y$的取值范围是$-4\leqslant y\lt5$。
【答案】：1.$y=x^{2}-2x - 3$ 2.$-4\leqslant y\lt5$

5. 已知二次函数的图象如图所示,求它的解析式。$y=-x^{2}+2x + 3$

答案： 【解析】：
设二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）。
已知二次函数图象与$x$轴交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，与$y$轴交点为$(0,3)$。
把$(-1,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$a - b + c = 0$；
把$(3,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$9a + 3b + c = 0$；
把$(0,3)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$c = 3$。
将$c = 3$代入$a - b + c = 0$和$9a + 3b + c = 0$，得到方程组$\begin{cases}a - b+3 = 0\\9a + 3b+3 = 0\end{cases}$。
由$a - b+3 = 0$可得$b=a + 3$，将其代入$9a + 3b+3 = 0$中：
$9a+3(a + 3)+3 = 0$，
$9a+3a+9 + 3 = 0$，
$12a=-12$，
解得$a=-1$。
把$a=-1$代入$b=a + 3$，得$b=-1 + 3=2$。
所以二次函数解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
或者因为二次函数图象与$x$轴交点为$(-1,0)$，$(3,0)$，设二次函数解析式为$y=a(x + 1)(x - 3)$（交点式$y=a(x-x_{1})(x - x_{2})$，$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$）。
把$(0,3)$代入$y=a(x + 1)(x - 3)$得：$a(0 + 1)(0 - 3)=3$，
$-3a=3$，
解得$a=-1$。
则$y=-(x + 1)(x - 3)=-x^{2}+2x + 3$。
【答案】：$y=-x^{2}+2x + 3$

6. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$的图象如图所示,求这个二次函数的解析式。

$y=x^{2}-2x$

答案： 【解析】：
已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象过$(0,0)$，$(2,0)$，$(1, - 1)$三点。
把$(0,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$0=a\times0^{2}+b\times0 + c$，所以$c = 0$。
把$c = 0$，$(2,0)$，$(1, - 1)$代入$y = ax^{2}+bx$得$\begin{cases}4a + 2b = 0\\a + b = - 1\end{cases}$。
由$4a + 2b = 0$可得$2a + b = 0$，用$2a + b = 0$减去$a + b = - 1$：
$(2a + b)-(a + b)=0-(-1)$，
$2a + b - a - b = 1$，
$a = 1$。
把$a = 1$代入$a + b = - 1$得：$1 + b = - 1$，$b=-2$。
【答案】：$y=x^{2}-2x$