《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,求$\triangle OAB$的面积。
(1)
(2)

答案： 解:
(1)$\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$.
(2)$\frac{1}{2} \times | - 3 | \times | - 4 | = 6$.

2. 求直线$y = x + 2$与直线$y = -2x - 4$的交点坐标。($(-2,0)$)

答案： 解:依题意,得$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = - 2x - 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = - 2 \\ y = 0 \end{cases}$
∴交点坐标为$( - 2,0)$.

3. (2024·东莞校级二模)如图,已知反比例函数$y = -\frac{8}{x}与一次函数y = kx + b的图象交于A$,$B$两点,且点$A的横坐标和点B的纵坐标都是-2$。求：
(1)一次函数的解析式；
(2)$\triangle AOB$的面积；
(3)直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的$x$的取值范围。

答案：
解:
(1)
∵点A的横坐标和点B的纵坐标都是−2,
∴$- \frac{8}{ - 2} = 4$，$- \frac{8}{x} = - 2$.
∴$x = 4$.
∴点A,B的坐标分别为A$( - 2,4)$，B$(4, - 2)$.
　把A$( - 2,4)$，B$(4, - 2)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} - 2k + b = 4 \\ 4k + b = - 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = - 1 \\ b = 2 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = - x + 2$.
(2)如图,设一次函数的图象与y轴交于点C;
　　　　
　当$x = 0$时，$y = 2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$.
∴$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC}$
　　　　$= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4$
　　　　$= 2 + 4$
　　　　$= 6$.
(3)由图象可得,当$- 2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 4$时，反比例函数的值大于一次函数的值.

4. (2024·黄埔区校级二模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = mx + n所在直线AB与反比例函数y = \frac{k}{x}的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,b)$两点,连接$OA$,把$OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD$,$CD恰好过点B且点C(5,c)$。
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
一次函数的表达式为$y = $$- x + 6$，反比例函数的表达式为$y = $$\frac{8}{x}$；
(2)请结合函数图象,直接写出关于$x的不等式\frac{k}{x} \geq mx + n$的解集；
解集为$0 ＜ x \leq 2$或$x \geq 4$；
(3)求梯形$AODB$的面积。
面积为9。

答案： 解:
(1)依题意,
　得$AO // CD$，$AO = CD$，
∴四边形AODC是平行四边形.
∴点A$(a,4)$和点C$(5,c)$的横坐标相差3,纵坐标相同,即$a = 2$，$c = 4$.
∴A$(2,4)$，C$(5,4)$.
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象过A$(2,4)$，
∴$k = 4 \times 2 = 8$.
∴反比例函数的表达式为$y = \frac{8}{x}$.
　把B$(4,b)$代入$y = \frac{8}{x}$，得$b = \frac{8}{4} = 2$，
∴B$(4,2)$.
　把A$(2,4)$，B$(4,2)$分别代入$y = mx + n$，得$\begin{cases} 2m + n = 4 \\ 4m + n = 2 \end{cases}$
　解得$\begin{cases} m = - 1 \\ n = 6 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y = - x + 6$.
(2)由函数图象可得，$\frac{8}{x} \geq - x + 6$的解集为$0 ＜ x \leq 2$或$x \geq 4$.
(3)
∵$OD = 3$，点A到OD的距离为4，
∴$S_{\square AODC} = 4 \times 3 = 12$.
∵$AC // OD$，
∴点B到AC的距离为$y_A - y_B = 4 - 2 = 2$.
∴$S_{\triangle BAC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$.
∴$S_{梯形AODB} = S_{\square AODC} - S_{\triangle BAC}$
　　　　　$= 12 - 3 = 9$.