《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 用配方法求抛物线$y = 2x^{2} + 12x - 2$的顶点坐标.

答案： 解：$y=2(x^{2}+6x)-2$
$=2(x^{2}+6x+9-9)-2$
$=2(x^{2}+6x+9)-2×9-2$
$=2(x+3)^{2}-20$
∴顶点坐标为$(-3,-20)$

2. 求抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的顶点坐标.
解：$y = ax^{2} + bx + c$
$= a\left(x^{2} + \dfrac{b}{a}x\right) + c$
$= a\left(x^{2} + \dfrac{b}{a}x + \left(\frac {b}{2a}\right)^{2} - \left(\frac {b}{2a}\right)^{2}\right) + c$
$\therefore y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} + \dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$.
$\therefore顶点坐标为(-\frac {b}{2a}, \frac {4ac-b^{2}}{4a})$.

答案： $(\frac {b}{2a})^{2}$ $(\frac {b}{2a})^{2}$ $-\frac {b}{2a}$
$\frac {4ac-b^{2}}{4a}$

总结：
二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$.
(1)化为顶点式$y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^{2} + \dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$；
(2)顶点坐标$\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$；
(3)对称轴：直线$x = $$-\frac{b}{2a}$；
(4)当$x = $$-\frac{b}{2a}$时,$y的最值为$$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$.

答案： 总结：
(3)$-\frac {b}{2a}$
(4)$-\frac {b}{2a}$ $\frac {4ac-b^{2}}{4a}$

3. 例 求抛物线$y = -2x^{2} + 4x - 1$的对称轴及顶点坐标.

答案： 解：$a=-2$，$b=4$，$c=-1$
$-\frac {b}{2a}=-\frac {4}{2×(-2)}=1$，
$\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {4×(-2)×(-1)-4^{2}}{4×(-2)}=1$
∴对称轴为直线$x=1$，
顶点坐标为$(1,1)$

4. 用公式法求抛物线$y = 3x^{2} - 6x + 1$的顶点坐标.

答案： 解：$a=3$，$b=-6$，$c=1$
$-\frac {b}{2a}=1$，
$\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {12-36}{12}=-2$
∴顶点坐标为$(1,-2)$

5. 求抛物线$y = -\dfrac{3}{2}x^{2} + x + 1$的对称轴及顶点坐标.

答案： 解：$a=-\frac {3}{2}$，$b=1$，$c=1$
$-\frac {b}{2a}=-\frac {1}{2×(-\frac {3}{2})}=\frac {1}{3}$，
$\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {4×(-\frac {3}{2})×1-1^{2}}{4×(-\frac {3}{2})}=\frac {7}{6}$
∴对称轴为直线$x=\frac {1}{3}$，顶点坐标为$(\frac {1}{3},\frac {7}{6})$

6. 求抛物线$y = -\dfrac{1}{2}x^{2} - 2x + 3$的顶点坐标.

答案： 解：$a=-\frac {1}{2}$，$b=-2$，$c=3$
$-\frac {b}{2a}=-\frac {-2}{2×(-\frac {1}{2})}=-2$，
$\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {4×(-\frac {1}{2})×3-(-2)^{2}}{4×(-\frac {1}{2})}=5$
∴顶点坐标为$(-2,5)$