《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (RJ 九上 P89)如图,在半径为 50 mm 的$\odot O$中,弦 AB 长 50 mm. 求:
(1)$∠AOB$的度数;
(2)点 O 到 AB 的距离.

答案：
解:
(1) 如图, 过点 $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 于点 $ E $,
　　　　　
$\because AO = BO = 50\mathrm{mm}, AB = 50\mathrm{mm}$,
$\therefore AO = BO = AB$.
$\therefore \triangle AOB$ 为等边三角形.
$\therefore \angle AOB = 60^{\circ}$.
(2) $\because \triangle AOB$ 为等边三角形, $ OE \perp AB $,
$\therefore AE = BE$.
又 $\because AB = 50\mathrm{mm}$,
$\therefore AE = 25\mathrm{mm}$.
又 $\because AO = 50\mathrm{mm}, OE \perp AB$,
$\therefore OE = \sqrt{AO^{2} - AE^{2}}$
$= \sqrt{50^{2} - 25^{2}}$
$= 25\sqrt{3}(\mathrm{mm})$.
即点 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 25\sqrt{3}\mathrm{mm} $.

2. (RJ 九上 P83)如图,在$\odot O$中,AB,AC 为互相垂直且相等的两条弦,$OD⊥AB,OE⊥AC$,垂足分别为 D,E. 求证:四边形 ADOE 是正方形.

证明: $\because AB \perp AC, OD \perp AB$, $ OE \perp AC $,
$\therefore \angle EAD = \angle ODA$
$= \angle OEA = 90^{\circ}$.
$\therefore$ 四边形 $ ADOE $ 是矩形.
$\because OD \perp AB, OE \perp AC$,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB, AE = \frac{1}{2}AC$.
$\because AB = AC$,
$\therefore AD = AE$.
$\therefore$ 矩形 $ ADOE $ 是正方形.

答案： 证明: $\because AB \perp AC, OD \perp AB$, $ OE \perp AC $,
$\therefore \angle EAD = \angle ODA$
$= \angle OEA = 90^{\circ}$.
$\therefore$ 四边形 $ ADOE $ 是矩形.
$\because OD \perp AB, OE \perp AC$,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB, AE = \frac{1}{2}AC$.
$\because AB = AC$,
$\therefore AD = AE$.
$\therefore$ 矩形 $ ADOE $ 是正方形.

3. (RJ 九上 P101)如图,以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 是小圆的切线,点 P 为切点. 求证:$AP= BP.$

答案：
证明: 如图, 连接 $ OP $,
　　　　
$\because$ 大圆的弦 $ AB $ 是小圆的切线, 点 $ P $ 为切点,
$\therefore OP \perp AB$.
$\because OP$ 过圆心 $ O $,
$\therefore AP = BP$.

4. (RJ 九上 P124)如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 O,四条边 AB,BC,CD,DA 的中点分别为 E,F,G,H. 这四个点共圆吗? 若共圆,圆心在哪里?

答案：
解: 如图, 连接 $ OH, OE, OG, OF $,
　　　　
$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是菱形,
$\therefore AC \perp BD$, $ AB = BC = CD = AD $.
$\because$ 四条边的中点分别为 $ E, F, G, H $,
$\therefore OH = \frac{1}{2}AD, OG = \frac{1}{2}CD$,
$OE = \frac{1}{2}AB, OF = \frac{1}{2}BC$.
$\therefore OE = OF = OG = OH$.
$\therefore E, F, G, H$ 四个点共圆, 圆心为点 $ O $.