《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

(一)二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)的图象特征与系数a$,$b$,$c$的关系

1. 例 如图,已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c的对称轴为直线x = 1$,与$x轴交于(3,0)$,下列结论正确的有______②③④⑤.
①$a ＞ 0$；②$c ＞ 0$；③$b ＞ 0$；
④$b^{2} - 4ac ＞ 0$；⑤$b + 2a = 0$.

2. 【变式练习】如图,抛物线$y = ax^{2} + bx + c的对称轴为直线x = -1$,与$x轴交于(-3,0)$,$(1,0)$,则下列结论错误的是______①③④.
①$a ＜ 0$；
②$c ＜ 0$；
③$b ＜ 0$；
④$b^{2} - 4ac ＜ 0$；
⑤$b = 2a$.

答案： 1. ②③④⑤ 2. ①③④

(二)几种常考的关系式的解题方法
|代数式|方法指引|对应点坐标|
|----|----|----|
|①$a + b + c$|当$x = 1$时,$y = a + b + c$|$(1,a + b + c)$|
|②$a - b + c$|当$x = -1$时,$y = $$a - b + c$|$(-1,a - b + c)$|
|③$4a + 2b + c$|当$x = 2$时,$y = $$4a + 2b + c$|$(2,4a + 2b + c)$|
|④$4a - 2b + c$|当$x = -2$时,$y = $$4a - 2b + c$|$(-2,4a - 2b + c)$|
|⑤$abc$|根据开口方向、对称轴及与$y$轴的交点进行判断|—|
|⑥$2a - b或2a + b$|根据对称轴位置进行判断|—|
|$\Delta = b^{2} - 4ac$(决定抛物线与$x$轴的交点个数)|$b^{2} - 4ac = 0$|与$x$轴有唯一交点(顶点)|
| |$b^{2} - 4ac ＞ 0$|与$x$轴有两个交点|
| |$b^{2} - 4ac ＜ 0$|与$x$轴没有交点|

答案： ②$a - b + c$ ③$4a + 2b + c$ ④$4a - 2b + c$