《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

5. 已知抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}$, 则:
(1) 开口向下;
(2) 对称轴是$y$轴;
(3) 顶点坐标是$(0,0)$;
(4) 当$x = $0时,$y$的最大值$ = $0;
(5) 当$x$$\lt0$时,$y随x$的增大而增大.

答案：
(1)下
(2)$y$轴
(3)$(0,0)$
(4)$0$；大；$0$
(5)$\lt0$

6. (2024·白云区校级月考) 在同一坐标系中, 作$y = x^{2}$,$y = -\frac{1}{2}x^{2}$,$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象, 它们的共同特点是 (D)
A. 抛物线的开口方向向上
B. 都是关于$x$轴对称的抛物线, 且$y随x$的增大而增大
C. 都是关于$y$轴对称的抛物线, 且$y随x$的增大而减小
D. 都是关于$y$轴对称的抛物线, 有公共的顶点

答案： D

7. 已知二次函数$y = (a - 1)x^{2}$, 当$x ＞ 0$时,$y随x$增大而增大, 则实数$a$的取值范围是 (B)
A. $a ＞ 0$
B. $a ＞ 1$
C. $a \neq 1$
D. $a ＜ 1$

答案： B

8. 当$x ＞ 0$时,$y随x$增大而减小的函数是 (C)
A. $y = x$
B. $y = 2x - 2$
C. $y = -x^{2}$
D. $y = x^{2}$

答案： C

9. 下列各点在抛物线$y = 2x^{2}$上的是 (B)
A. $(2, 1)$
B. $(1, 2)$
C. $(1, -2)$
D. $(-1, -2)$

答案： B

10. 已知点$(x_{1}, y_{1})与(x_{2}, y_{2})在抛物线y = -2x^{2}$上, 若$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0$, 则$y_{1}$＜$y_{2}$.

答案： $＜$

11. 【易错题】抛物线$y = 2x^{2}$, 当$-1 \leq x \leq 2$时,$y$的取值范围是 (B)
A. $-2 \leq y \leq 8$
B. $0 \leq y \leq 8$
C. $2 \leq y \leq 8$
D. $0 \leq y \leq 2$

答案： B

12. 【原创题】如图, 抛物线$y = ax^{2}的图象经过点A(2, -2)$,
(1) 这个函数的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}$;
(2) 抛物线上与点$A关于y轴对称的点B$的坐标是$(-2, -2)$,$\triangle AOB$的面积是$4$;
(3) 抛物线上一点$C满足S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$, 求点$C$的坐标.
$(\sqrt{2}, -1)$，$(-\sqrt{2}, -1)$，$(\sqrt{6}, -3)$，$(-\sqrt{6}, -3)$

答案： 【解析】：
(1) 已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$A(2, -2)$，将点$A$坐标代入抛物线方程可得：$-2=a\times2^{2}$，即$4a=-2$，解得$a = -\frac{1}{2}$，所以函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}$。
(2) 关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以点$B$的坐标是$(-2, -2)$。
$\triangle AOB$中，$AB$的长度为$\vert2 - (-2)\vert=4$，点$O$到$AB$的距离（即$A$或$B$的纵坐标的绝对值）为$2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times4\times2 = 4$。
(3) 已知$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$，由
(2)知$S_{\triangle AOB}=4$，所以$S_{\triangle ABC}=2$。
$AB = 4$，设点$C$的纵坐标为$y_{C}$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times\vert y_{C}-(-2)\vert$，即$2=\frac{1}{2}\times4\times\vert y_{C}+2\vert$，化简得$\vert y_{C}+2\vert = 1$。
当$y_{C}+2 = 1$时，$y_{C}=-1$，把$y_{C}=-1$代入$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，得$-1 = -\frac{1}{2}x^{2}$，解得$x=\pm\sqrt{2}$；
当$y_{C}+2=-1$时，$y_{C}=-3$，把$y_{C}=-3$代入$y = -\frac{1}{2}x^{2}$，得$-3 = -\frac{1}{2}x^{2}$，解得$x=\pm\sqrt{6}$。
【答案】：
(1)$y = -\frac{1}{2}x^{2}$
(2)$(-2, -2)$；$4$
(3)$(\sqrt{2}, -1)$，$(-\sqrt{2}, -1)$，$(\sqrt{6}, -3)$，$(-\sqrt{6}, -3)$