《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

3. 【综合与实践】【问题情境】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题：如图 1,点 $D$ 在等边 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上,将 $\triangle ABD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$,使得旋转后点 $B$ 的对应点为 $C$。小明是这样做的：如图 2,过等边 $\triangle ABC$ 的顶点 $C$ 作 $BA$ 的平行线 $l$,在 $l$ 上截取 $CE = BD$,连接 $AE$,则 $\triangle ACE$ 即为 $\triangle ABD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 后的图形。
【方法初探】
(1)小明的方法正确吗？如果正确,求 $\angle DAE$ 的度数；如果不正确,请说明理由。
【类比应用】
(2)如图 3,$D$ 为等边 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 下方一点,连接 $AD$,$BD$,$CD$。若 $\angle CDB = 120^{\circ}$,$AD = 4$,求 $\triangle ABC$ 面积的最小值。

答案：
解:
(1) 小明的方法正确. 理由如下:
$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,
$\therefore \angle B A C=\angle B=60^{\circ}, A B=A C$.
$\because$ 过等边 $\triangle A B C$ 的顶点 $C$ 作 $B A$ 的平行线 $l$,
$\therefore \angle A C E=\angle B A C=60^{\circ}$.
$\therefore \angle B=\angle A C E$.
又 $\because B D=C E$,
$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(SAS)$.
$\therefore \angle B A D=\angle C A E$.
$\therefore \angle B A D+\angle C A D=\angle C A E+\angle C A D$,
即 $\angle D A E=\angle B A C=60^{\circ}$.
(2) $\because \triangle A B C$ 是等边三角形,
$\therefore \angle B A C=60^{\circ}, A B=A C$.
如图 3, 将 $\triangle A D C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$, 使点 $C$ 与点 $B$ 重合, 点 $D$ 的对应点为 $D^{\prime}$, 过点 $A$ 作 $A B^{\prime} \perp B D$ 于点 $B^{\prime}$,

由旋转的性质, 可得
$A D^{\prime}=A D=4$,
$\angle A B D^{\prime}=\angle A C D$,
$\angle B A D^{\prime}=\angle C A D$,
$\therefore \angle D A D^{\prime}=\angle B A C=60^{\circ}$.
$\because \angle C D B=120^{\circ}$,
$\therefore \angle B A C+\angle C D B=180^{\circ}$.
$\therefore \angle D B A+\angle A C D=180^{\circ}$.
$\therefore \angle D B A+\angle A B D^{\prime}=180^{\circ}$.
$\therefore D, B, D^{\prime}$ 三点共线.
$\therefore \triangle D A D^{\prime}$ 是等边三角形.
等边 $\triangle A B C$ 的面积最小, 即等边 $\triangle A B C$ 的边长最短时面积最小,
$\therefore$ 当 $A B \perp B D$ 时, 即点 $B$ 位于点 $B^{\prime}$ 时, $A B$ 取得最小值.
$\because A B^{\prime} \perp B D, A D=A D^{\prime}=4$,
$\therefore \angle D A B^{\prime}=30^{\circ}, B^{\prime} D=\frac{1}{2} A D=2$.
$\therefore A B^{\prime}=\sqrt{A D^{2}-B^{\prime} D^{2}}=2 \sqrt{3}$.
通过计算可知, 此时 $\triangle A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$,
$\therefore S_{\triangle A B C}$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$.