《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 例 如图,已知$AD// BC,∠A= ∠BDC= 90^{\circ }$.
(1)求证:$△ABD\backsim △DCB;$
证明: ∵AD//BC,
∴∠ADB = ∠DBC.
又∵∠A = ∠BDC = 90°,
∴△ABD∽△DCB.
(2)若$BD= 6,DC= 8$,求 AB 的长.
解: ∵△ABD∽△DCB,
∴$\frac{DC}{AB}$ = $\frac{BC}{BD}$.
又∵BD = 6, DC = 8,
∴BC = $\sqrt{BD^2 + DC^2}$
= $\sqrt{6^2 + 8^2}$ = 10.
∴AB = $\frac{24}{5}$.

答案：
(1) 证明:
∵AD//BC,
∴∠ADB = ∠DBC.
又
∵∠A = ∠BDC = 90°,
∴△ABD∽△DCB.
(2) 解:
∵△ABD∽△DCB,
∴$\frac{DC}{AB}$ = $\frac{BC}{BD}$.
又
∵BD = 6, DC = 8,
∴BC = $\sqrt{BD^2 + DC^2}$
= $\sqrt{6^2 + 8^2}$ = 10.
∴AB = $\frac{24}{5}$.

2. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },ED⊥AB,BC= 6,AC= 8,DE= 3$,求 AE 的长.

解: 在Rt△ABC中, BC = 6,
AC = 8,
∴AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$
= $\sqrt{8^2 + 6^2}$ = 10.
∵DE⊥AB,
∴∠ADE = ∠C = 90°.
又∵∠A = ∠A,
∴△ADE∽△ACB.
∴$\frac{AE}{AB}$ = $\frac{DE}{BC}$ ∴AE = 5.

答案： 解: 在Rt△ABC中, BC = 6,
AC = 8,
∴AB = $\sqrt{AC^2 + BC^2}$
= $\sqrt{8^2 + 6^2}$ = 10.
∵DE⊥AB,
∴∠ADE = ∠C = 90°.
又
∵∠A = ∠A,
∴△ADE∽△ACB.
∴$\frac{AE}{AB}$ = $\frac{DE}{BC}$
∴AE = 5.

3. 例 如图,在$\odot O$中,弦 AB,CD 相交于点 P.
求证:$PA\cdot PB= PC\cdot PD.$

答案： 证明:
∵∠ADC与∠ABC都是$\overparen{AC}$所对的圆周角,
∴∠ADC = ∠ABC.
又
∵∠APD = ∠CPB,
∴△ADP∽△CBP.
∴$\frac{PA}{PC}$ = $\frac{PD}{PB}$,
即PA·PB = PC·PD.

4. 如图,AB 为$\odot O$的直径,CD 为$△ABC$的高.

求证:$AC^{2}= AD\cdot AB.$
证明: ∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵CD是△ABC的高,
∴∠ACB = ∠ADC = 90°.
又∵∠A = ∠A,
∴△ABC∽△ACD.
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AC}{AD}$, 即AC² = AD·AB.

答案： 证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵CD是△ABC的高,
∴∠ACB = ∠ADC = 90°.
又
∵∠A = ∠A,
∴△ABC∽△ACD.
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AC}{AD}$, 即AC² = AD·AB.

5. 例 如图,AB 是$\odot O$的直径,AP 是$\odot O$的切线,切点为 A,$OP// BC$.若$OP= 10,BC= 4$,求$\odot O$半径的长.

解: ∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP = 90°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵OP//BC,
∴∠ABC = ∠POA.
∴△ABC∽△POA.
设OA = r, 则AB = 2r.
∵△ABC∽△POA,
∴$\frac{OP}{AB}$ = $\frac{OA}{BC}$, 即$\frac{10}{2r}$ = $\frac{r}{4}$,
解得r = 2$\sqrt{5}$.
∴$\odot O$的半径是2$\sqrt{5}$.

答案： 解:
∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP = 90°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵OP//BC,
∴∠ABC = ∠POA.
∴△ABC∽△POA.
设OA = r, 则AB = 2r.
∵△ABC∽△POA,
∴$\frac{OP}{AB}$ = $\frac{OA}{BC}$, 即$\frac{10}{2r}$ = $\frac{r}{4}$,
解得r = 2$\sqrt{5}$.
∴⊙O的半径是2$\sqrt{5}$.

6. 如图,AB 为半圆 O 的直径,C 为 BA 延长线上一点,CD 切半圆 O 于点 D,连接 OD,作$BE⊥CD$于点 E,交半圆 O 于点 F.已知$CE= 12,BE= 9.$
(1)求证:$△COD\backsim △CBE;$
(2)求半圆 O 的半径 r 的长.
(1) 证明: ∵CD为⊙O的切线,
∴∠ODC = 90°.
∵BE⊥CD, ∴∠BEC = 90°.
∴∠ODC = ∠BEC.
又∵∠C = ∠C,
∴△COD∽△CBE.
(2) 解: 由(1)得△COD∽△CBE,
∴$\frac{EB}{DO}$ = $\frac{BC}{OC}$.
∵CE = 12, BE = 9,
∴BC = $\sqrt{CE^2 + BE^2}$
= $\sqrt{12^2 + 9^2}$ = 15.
∴$\frac{9}{DO}$ = $\frac{15}{15 - DO}$.
∴OD = 5.625, 即r = 5.625.

答案：
(1) 证明:
∵CD为⊙O的切线,
∴∠ODC = 90°.
∵BE⊥CD,
∴∠BEC = 90°.
∴∠ODC = ∠BEC.
又
∵∠C = ∠C,
∴△COD∽△CBE.
(2) 解: 由
(1)得△COD∽△CBE,
∴$\frac{EB}{DO}$ = $\frac{BC}{OC}$.
∵CE = 12, BE = 9,
∴BC = $\sqrt{CE^2 + BE^2}$
= $\sqrt{12^2 + 9^2}$ = 15.
∴$\frac{9}{DO}$ = $\frac{15}{15 - DO}$.
∴OD = 5.625, 即r = 5.625.