《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

13. (2024·中山校级月考)如图,直线$y= kx+b与双曲线y= \frac {m}{x}(x＜0)相交于A(-3,1)$,$B$两点,与$x轴相交于点C(-4,0)$.
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
一次函数的解析式为$y = x + 4$，反比例函数的解析式为$y = -\frac{3}{x}(x ＜ 0)$。
(2)连接$OA$,$OB$,求$\triangle AOB$的面积；
$\triangle AOB$的面积为4。
(3)直接写出当$x＜0$时,关于$x的不等式kx+b＜\frac {m}{x}$的解集.
解集是$x ＜ -3$或$-1 ＜ x ＜ 0$。

答案： 解：
(1)把 $A(-3,1)$，$C(-4,0)$ 分别代入 $y = kx + b$，得 $ \begin{cases} -3k + b = 1 \\ -4k + b = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = 1 \\ b = 4 \end{cases} $，
∴一次函数的解析式为 $y = x + 4$。把 $A(-3,1)$ 代入 $y = \frac{m}{x}(x ＜ 0)$，得 $ \frac{m}{-3} = 1 $，解得 $m = -3$，
∴反比例函数的解析式为 $y = -\frac{3}{x}(x ＜ 0)$。
(2)联立 $ \begin{cases} y = x + 4 \\ y = -\frac{3}{x} \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} x = -3 \\ y = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases} $，
∴点 $B$ 的坐标为 $(-1,3)$。
∴ $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} - S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 - \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 4$。
(3)观察图象，当 $x ＜ 0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $kx + b ＜ \frac{m}{x}$ 的解集是 $x ＜ -3$ 或 $-1 ＜ x ＜ 0$。

14. (2024·香洲区三模)如图,一次函数$y= kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= \frac {m}{x}(m≠0)$的图象相交于第一、三象限内的点$A(a,-2)和点B(4,b)$,过点$A作x$轴的垂线,垂足为$C$,且$\triangle AOC$的面积为2.
(1)分别求出$a和b$的值；
(2)结合图象直接写出$kx+b＞\frac {m}{x}$的解集；
(3)在$x轴上取一点P$,当$|PA-PB|$取得最大值时,求点$P$的坐标.

答案：
解：
(1)
∵ $ \triangle AOC $ 的面积为 2，且反比例函数 $y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$ 的图象经过第一、三象限，
∴ $m = 4$。
∴反比例函数的解析式为 $y = \frac{4}{x}$。把 $A(a,-2)$，$B(4,b)$ 分别代入 $y = \frac{4}{x}$，可得 $a = -2$，$b = 1$。
(2)由
(1)知 $A(-2,-2)$，$B(4,1)$，结合图象可知，$kx + b ＞ \frac{m}{x}$ 的解集为 $-2 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 4$。
(3)如图，作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'(4,-1)$，连接 $AB'$，交 $x$ 轴于点 $P$，连接 $PB$，

此时 $ |PA - PB| $ 取得最大值，最大值为 $ |PA - PB| = |PA - PB'| = AB' $。设直线 $AB'$ 的解析式为 $y = cx + d$。把 $A(-2,-2)$，$B'(4,-1)$ 分别代入 $y = cx + d$，得 $ \begin{cases} -2c + d = -2 \\ 4c + d = -1 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} c = \frac{1}{6} \\ d = -\frac{5}{3} \end{cases} $，
∴直线 $AB'$ 的解析式为 $y = \frac{1}{6}x - \frac{5}{3}$。当 $y = 0$ 时，$ \frac{1}{6}x - \frac{5}{3} = 0 $，解得 $x = 10$，
∴ $P(10,0)$。故当 $ |PA - PB| $ 取得最大值时，点 $P$ 的坐标为 $(10,0)$。