《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

4. (RJ 九上 P23 改编)【数学活动】三角点阵中前 n 行的点数计算
【实验与探究】
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有 1 个点,第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点……容易发现,10 是三角点阵中前 4 行的点数和,你能发现 300 是前多少行的点数的和吗?
如果用试验的方法,由上而下地逐行相加其点数,你能发现 $ 1 + 2 + 3 + 4 + … + 23 + 24 = 300 $,得知 300 是前 24 行的点数的和,但是这样寻找答案有些慢. 我们先来探求三角点阵中前 n 行的点数和与 n 的数量关系:
前 n 行的点数和是 $ 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n $,可以发现: $ 2 × [1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n] = [1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n] + [n + (n - 1) + (n - 2) + … + 3 + 2 + 1] $.
把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第 n 项相加,上式等号的右边变形为 n 个 $ (n + 1) $ 相加,整个式子等于 $ n(n + 1) $,于是得到 $ 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n = \frac{1}{2}n(n + 1) $,这就是说,三角点阵中前 n 行的点数和是 $ \frac{1}{2}n(n + 1) $.
下面用一元二次方程解决上述问题:设三角点阵中前 n 行的点数和为 300,则有 $ \frac{1}{2}n(n + 1) = 300 $,整理这个方程,得 $ n^{2} + n - 600 = 0 $,解方程,得 $ n_{1} = 24 $, $ n_{2} = - 25 $. 根据问题中未知数的意义确定 $ n = 24 $,即三角点阵中前 24 行的点数和是 300.
请你根据上述材料解答下列问题:
【初步感知】(1)根据上面的内容,请直接写出 21 是三角点阵中前______行的点数和;三角点阵中前 8 行的点数和为______.
【知识应用】(2)三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗? 如果能,求出 n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.
【拓展延伸】(3)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 $ 2,4,6,…,2n,… $,你能探究出前 n 行的点数和满足什么规律吗? 这个三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗? 如果能,求出 n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.

【初步感知】(1)根据上面的内容,请直接写出 21 是三角点阵中前6行的点数和;三角点阵中前 8 行的点数和为36.
【知识应用】(2)三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗? 如果能,求出 n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.
解: 不能. 理由如下:依题意,得$\frac {n(n+1)}{2}=600$,即$n^{2}+n-1200=0$,$\Delta=1+4800=4801$,因为$\sqrt{4801}$不是整数,所以方程没有正整数解,故三角点阵中前n行的点数和不能是600.
【拓展延伸】(3)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为$2,4,6,…,2n,… $,你能探究出前 n 行的点数和满足什么规律吗? 这个三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗? 如果能,求出 n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.
解: 前n行的点数和为$2+4+6+…+(2n-4)+(2n-2)+2n=2[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]=2×\frac {n(n+1)}{2}=n(n+1)$.令$n(n+1)=600$,解得$n_{1}=24$,$n_{2}=-25$(舍去),所以$n=24$,即这个三角点阵中前24行的点数和是600.

答案： 解:
(1) 6 36
(2) 不能. 理由如下:
依题意, 得$\frac {n(n+1)}{2}=600$,
即$n^{2}+n-1200=0$,
$\Delta =\sqrt {4801}$, 不是整数, 故三角点阵中前n行的点数和不能是 600.
(3) 能. 理由如下:
依题意, 得前n行的点数和为$2+4+6+... +(2n-4)+(2n-2)+2n=2[1+2+3+... +(n-2)+(n-1)+n]=2×\frac {n(n+1)}{2}=n(n+1)$.
令$n(n+1)=600$,
解得$n_{1}=24,n_{2}=-25$(舍去).
$\therefore n=24$.