《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

19. (2024·宛城区校级月考)如图,隧道的截面由半径为5 m的半圆构成.
(1)如图1,一辆货车宽5.8 m、高4 m,它能通过该隧道吗？
(2)如图2,如果该隧道内设双行道,一辆宽为4 m、高为2.7 m的货车能通过这个隧道吗？
(3)如图3,如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.6 m的隔离带,则一辆宽为2.8 m,高为4 m的货车____通过隧道.(填“能”或“不能”)

答案：
解:
(1)如图1，设$CD \perp AB$于点D，

$CD = 4$m.
$\because OC = 5$m，
$\therefore OD = \sqrt{OC^{2} - CD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3(m)$.
$\because 3 ＞ \frac{5.8}{2}$，
$\therefore$这辆货车能通过该隧道.
(2)如图2，设$CD \perp AB$于点D，$OD = 4$m，连接OC，

$\because OC = 5$m，
$\therefore CD = \sqrt{OC^{2} - OD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3(m)$.
$\because 3 ＞ 2.7$，
$\therefore$这辆货车能通过该隧道.
(3)不能

20. (2024·湘潭模拟)已知AB是⊙O的直径,AB = 8,点C在⊙O的半径OA上运动,PC⊥AB,垂足为C,PC = 5,PT为⊙O的切线,切点为T.
(1)如图1,当点C运动到点O时,求PT的长；
(2)如图2,当点C运动到点A时,连接PO,BT. 求证：PO//BT；
(3)如图3,设$PT^{2}= y$,AC = x,求y与x的函数关系式及y的最小值.

答案：

(1)解:如图1，连接OT，

$\because AB = 8$，$\therefore OT = 4$.
$\because PC = 5$，$PT$为$\odot O$的切线，
$\therefore$在$Rt\triangle PTO$中，
$PT = \sqrt{PO^{2} - OT^{2}} = 3$.
(2)证明:如图2，连接OT，

$\because PT$为$\odot O$的切线，$PC \perp AB$，
$\therefore PA = PT$.
$\because PO = PO$，
$\therefore Rt\triangle PAO \cong Rt\triangle PTO(HL)$.
$\therefore \angle POA = \angle POT$.
$\because \angle AOT = 2\angle B$，
$\therefore \angle AOP = \angle B$.
$\therefore PO // BT$.
(3)解:如图3，设PC交$\odot O$于点D，延长PC交$\odot O$于点E，连接OT，OP，

$\because AB = 8$，$\therefore OA = OT = 4$.
$\because AC = x$，
$\therefore OC = OA - AC = 4 - x$.
在$Rt\triangle PCO$中，
$PO^{2} = PC^{2} + OC^{2}$，
在$Rt\triangle PTO$中，
$PO^{2} = PT^{2} + OT^{2}$，
$\therefore PC^{2} + OC^{2} = PT^{2} + OT^{2}$，
即$5^{2} + (4 - x)^{2} = y + 4^{2}$.
$\therefore y = x^{2} - 8x + 25 = (x - 4)^{2} + 9$.
$\therefore$当$x = 4$时，$y_{最小} = 9$.