《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

3. (RJ 九上 P17)[多边形对角线问题]一个凸多边形共有 20 条对角线,它是几边形? 是否存在有 18 条对角线的多边形? 如果存在,它是几边形? 如果不存在,说明得出结论的理由.

答案： 解：设这个凸多边形的边数为x。
依题意，得$\frac{x(x - 3)}{2}=20$。
整理，得$x^{2}-3x - 40 = 0$。
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=-5$(不合题意，舍去)。
$\therefore$这个凸多边形为八边形。
设有18条对角线的多边形的边数为n，
则有$\frac{n(n - 3)}{2}=18$。
整理，得$n^{2}-3n - 36 = 0$。
解得$n=\frac{3\pm3\sqrt{17}}{2}$。
因为所得n值不是大于或等于3的整数，
所以不存在有18条对角线的多边形。

4. (RJ 九上 P22 改编)[平移,集零为整]如图,要设计一幅宽 20 cm、长 30 cm 的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为$3:2$. 如果要使彩条所占面积是图案面积的$\frac {1}{4}$,设竖彩条的宽度为 2x cm,那么可列方程为$(30 - 4x)(20 - 6x)=20×30×\frac{3}{4}$.

答案： $(30 - 4x)(20 - 6x)=20\times30\times\frac{3}{4}$

5. (RJ 九上 P23 改编)如图是某同学在棋盘上

用围棋摆成的图案.
(1)第 5 个图案中黑棋的个数为15,白棋的个数为20.
(2)第n个图案中黑棋的个数为$\frac{n(n + 1)}{2}$,白棋的个数为4n.
(3)该同学准备用 100 枚黑棋和 100 枚白棋摆放第n个图案,摆放成完整的图案后,n 的最大值是多少? 此时还剩余多少枚棋子?

答案： 解：
(1)15 20
(2)由
(1)可得，第n个图案中黑棋的个数为$(1 + 2 + 3+\cdots+(n - 2)+(n - 1)+n)$个，第n个图案中白棋的个数为4n。
令$S = 1 + 2 + 3+\cdots+(n - 2)+(n - 1)+n$为①式，
$S = n+(n - 1)+(n - 2)+\cdots+4 + 3 + 2 + 1$为②式，
①+②，得
$2S=(1 + n)+(1 + n)+\cdots+(1 + n)+(1 + n)$
$=n(n + 1)$，
$\therefore S=\frac{n(n + 1)}{2}$。
故答案分别为$\frac{n(n + 1)}{2}$，4n。
(3)依题意，令$\frac{n(n + 1)}{2}=100$，
解得$n\approx13.65$(负值已舍去)，
$\therefore n$的最大值为13。
$\therefore$使用白棋的个数为
$4\times13 = 52$(个)，
使用黑棋的个数为
$\frac{13\times14}{2}=91$(个)。
$\therefore$剩余棋子的个数为
$100 - 52 + 100 - 91 = 57$(个)。