《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

9. 将抛物线$y = x^{2} - 2x$化为顶点式$y = a(x - h)^{2} + k$的形式为 (B)
A. $y = (x - 1)^{2} + 1$
B. $y = (x - 1)^{2} - 1$
C. $y = (x - 1)^{2} + 4$
D. $y = (x - 1)^{2} - 4$

答案： B

10. (2024·天河区校级月考)已知二次函数$y = -2x^{2} - 12x - 17$,下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线$x = -3$；③其图象的顶点坐标为$(3, -1)$；④当$x ＜ -3$时,$y随x$的增大而增大. 其中说法正确的有 (B)
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案： B

11. 抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 3$的顶点的坐标为$(2,1)$.

答案： $(2,1)$

12. 二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2} - x - 1的图象可由抛物线y = -\frac{1}{2}x^{2}$通过怎样平移得到？
先向左平移$1$个单位，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位

答案： 【解析】：本题可先将二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}-x - 1$化为顶点式，再根据抛物线平移的规律来确定它是由抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$如何平移得到的。
- **步骤一：将二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}-x - 1$化为顶点式**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），其顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$），其中顶点坐标为$(h,k)$，可通过配方法将一般式化为顶点式。
对$y = -\frac{1}{2}x^{2}-x - 1$进行配方：
$\begin{aligned}y&= -\frac{1}{2}x^{2}-x - 1\\&= -\frac{1}{2}(x^{2}+2x) - 1\\&= -\frac{1}{2}(x^{2}+2x + 1 - 1) - 1\\&= -\frac{1}{2}((x + 1)^{2}-1) - 1\\&= -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}+\frac{1}{2}- 1\\&= -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-\frac{1}{2}\end{aligned}$
- **步骤二：根据抛物线平移规律确定平移方式**
抛物线平移的规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”，即抛物线$y=a(x-h)^2+k$是由抛物线$y=ax^2$先向右（$h\gt0$）或向左（$h\lt0$）平移$\vert h\vert$个单位，再向上（$k\gt0$）或向下（$k\lt0$）平移$\vert k\vert$个单位得到的。
在抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-\frac{1}{2}$中，$h=-1$，$k=-\frac{1}{2}$，所以抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-\frac{1}{2}$是由抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}$先向左平移$1$个单位，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位得到的。
【答案】：先向左平移$1$个单位，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位

13. (2024·海珠区校级月考)已知抛物线$y = -x^{2} + 2x + 2$.
(1)该抛物线的对称轴是____$x = 1$,顶点坐标是____$(1,3)$；
(2)画出该抛物线的图象：
| $x$ | … | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| $y$ | … | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$ | … |
(3)若该抛物线上点$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})的横坐标满足x_{1} ＞ x_{2} ＞ 1$,试比较$y_{1}与y_{2}$
的大小.$y_{1}\lt y_{2}$

答案： 【解析】：
(1)对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，在$y=-x^{2}+2x + 2$中，$a=-1$，$b = 2$，$c = 2$。
对称轴$x=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1$。
把$x = 1$代入$y=-x^{2}+2x + 2$得$y=-1^{2}+2\times1 + 2=-1 + 2+2=3$，所以顶点坐标是$(1,3)$。
(2)求$y=-x^{2}+2x + 2$的一些函数值：
当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}+2\times(-1)+2=-1-2 + 2=-1$；
当$x = 0$时，$y=-0^{2}+2\times0+2=2$；
当$x = 1$时，$y = 3$（已求）；
当$x = 2$时，$y=-2^{2}+2\times2+2=-4 + 4+2=2$；
当$x = 3$时，$y=-3^{2}+2\times3+2=-9+6 + 2=-1$。
(3)对于抛物线$y=-x^{2}+2x + 2$，$a=-1\lt0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = 1$，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
因为$x_{1}\gt x_{2}\gt1$，所以$y_{1}\lt y_{2}$。
【答案】：
(1)$x = 1$，$(1,3)$
(2)
| $x$ | …$-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| $y$ | …$-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$ | … |
(3)$y_{1}\lt y_{2}$

14. (2024·越秀区校级期中)已知抛物线$y = -x^{2} + 2x + 1$,如果点$(0, y_{1})$,$(1, y_{2})$,$(3, y_{3})$都在该抛物线上,那么$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是 (A)

A. $y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$
B. $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$
C. $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$
D. $y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$

答案： A

15. 【易错题】若二次函数$y = x^{2} + mx + 5$配方后为$y = (x - 2)^{2} + k$,则$m + k = $$-3$.

答案： $-3$