《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

5. (2024·越秀区校级一模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = \frac{1}{2}x + 5和y = -2x的图象交于点A$,反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象经过点A$。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设一次函数$y = \frac{1}{2}x + 5的图象与反比例函数y = \frac{k}{x}的图象的另一个交点为B$,连接$OB$,求$\triangle ABO$的面积；
(3)根据图象直接写出关于$x的不等式\frac{1}{2}x + 5 ＞ \frac{k}{x}$的解集。

答案：
解:
(1)联立$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 5 \\ y = - 2x \end{cases}$
　解得$\begin{cases} x = - 2 \\ y = 4 \end{cases}$
∴点A的坐标为$( - 2,4)$.
　把A$( - 2,4)$代入$y = \frac{k}{x}$得$\frac{k}{ - 2} = 4$，
∴$k = - 8$.
∴反比例函数的表达式为$y = - \frac{8}{x}$.
(2)如图,设直线AB与x轴相交于点C,过A,B两点分别作x轴的垂线,分别交x轴于M,N两点，
　　　　
　联立$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 5 \\ y = - \frac{8}{x} \end{cases}$
　解得$\begin{cases} x = - 2 \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} x = - 8 \\ y = 1 \end{cases}$
∴B$( - 8,1)$.
　在$y = \frac{1}{2}x + 5$中，令$y = 0$，
　得$x = - 10$.
∴C$( - 10,0)$.
∴$S_{\triangle AOB}$
　$= S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC}$
　$= \frac{1}{2}OC \cdot AM - \frac{1}{2}OC \cdot BN$
　$= \frac{1}{2} \times 10 \times 4 - \frac{1}{2} \times 10 \times 1$
　$= 15$.
(3)关于x的不等式$\frac{1}{2}x + 5 ＞ \frac{k}{x}$的解集为$- 8 ＜ x ＜ - 2$或$x ＞ 0$.

6. (2024·越秀区校级月考)如图,一次函数$y = ax + b的图象与反比例函数y = \frac{k}{x}的图象相交于A(m,1)$,$B(2,-3)$两点,与$y轴相交于点C$。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设$D为线段AC$上的一个动点(不包括$A$,$C$两点),过点$D作DE // y轴交反比例函数的图象于点E$,当$\triangle CDE$的面积最大时,求点$E$的坐标。
(1)反比例函数的解析式为$y = $$ - \frac{6}{x}$，一次函数的解析式为$y = $$ - \frac{1}{2}x - 2$。
(2)点$E$的坐标为$(-2,3)$。

答案： 解:
(1)
∵点B$(2, - 3)$在反比例函数的图象上，
∴$k = 2 \times ( - 3) = - 6$.
∴反比例函数的解析式为$y = - \frac{6}{x}$
∵点A$(m,1)$在反比例函数$y = - \frac{6}{x}$的图象上，
∴$- \frac{6}{m} = 1$，解得$m = - 6$.
∴A$( - 6,1)$.
　把A$( - 6,1)$，B$(2, - 3)$分别代入一次函数$y = ax + b$，得$\begin{cases} - 6a + b = 1 \\ 2a + b = - 3 \end{cases}$
　解得$\begin{cases} a = - \frac{1}{2} \\ b = - 2 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = - \frac{1}{2}x - 2$.
(2)把$x = 0$代入$y = - \frac{1}{2}x - 2$，
　得$y = - 2$，
∴C$(0, - 2)$.
　设点D的坐标为$(m, - \frac{1}{2}m - 2)$，则E$(m, - \frac{6}{m})$.
∴$ED = - \frac{6}{m} - ( - \frac{1}{2}m - 2)$
　　　$= - \frac{6}{m} + \frac{1}{2}m + 2$.
∴$S_{\triangle CDE}$
　$= \frac{1}{2}( - m) \cdot ( - \frac{6}{m} + \frac{1}{2}m + 2)$
　$= - \frac{1}{4}m^2 - m + 3$
　$= - \frac{1}{4}(m + 2)^2 + 4$.
　当$m = - 2$时，$S_{\triangle CDE}$有最大值，
∴$- \frac{6}{m} = 3$.
∴点E的坐标为$( - 2,3)$.