《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

17. 【原创题】如图,在矩形OABC中,OA= 3,OC= 2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数$y= \frac {k}{x}(k＞0)$的图象与BC边交于点E.(1)当点F为AB的中点时,求该函数的解析式；解：由 OA = 3，OC = 2，点 F 为 AB 中点，得 F(3,1)。故该函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$。(2)当k为何值时$,\triangle EFA$的面积最大？最大面积是多少？解：∵ OA = 3，∴$ F(3,\frac{k}{3})。$∵ OC = 2，∴$ E(\frac{k}{2},2)。$∴$ BE = 3 - \frac{k}{2}。$∴$ S_{\triangle EFA} = \frac{1}{2}AF \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{3}(3 - \frac{k}{2}) = -\frac{1}{12}(k - 3)^{2} + \frac{3}{4}。$∴当k=3时，$\triangle EFA$的面积最大，最大面积是$\frac{3}{4}$。

答案： 解：
(1)由 $OA = 3$，$OC = 2$，点 $F$ 为 $AB$ 中点，得 $F(3,1)$。故 $y = \frac{3}{x}$。
(2)
∵ $OA = 3$，
∴ $F(3,\frac{k}{3})$。
∵ $OC = 2$，
∴ $E(\frac{k}{2},2)$。
∴ $BE = 3 - \frac{k}{2}$。
∴ $S_{\triangle EFA} = \frac{1}{2}AF \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{3}(3 - \frac{k}{2}) = -\frac{1}{12}(k - 3)^{2} + \frac{3}{4}$。
∴当 $k = 3$ 时，$\triangle EFA$ 的面积最大，$S_{最大值} = \frac{3}{4}$。

18. (2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征. 某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高$y和脚长x$之间近似存在一个函数关系,部分数据如表：

(1)在图1中描出表中数据对应的点$(x,y)$；
(2)根据表中数据,从$y= ax+b(a≠0)和y= \frac {k}{x}(k≠0)$中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式；(不要求写出$x$的取值范围)
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为$25.8cm$,请根据(2)中求出的函数解析式,估计这个人的身高.

答案：
解：
(1)描点如图所示

(2)
∵ $y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$ 转化为 $k = xy = 23 \times 156 \neq 24 \times 163 \neq 25 \times 170 \neq \cdots$，
∴ $y$ 与 $x$ 的函数解析式不可能是 $y = \frac{k}{x}$。故选一次函数 $y = ax + b(a \neq 0)$。把 $ (23,156) $，$ (24,163) $ 分别代入 $y = ax + b$，得 $ \begin{cases} 23a + b = 156 \\ 24a + b = 163 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = 7 \\ b = -5 \end{cases} $，
∴一次函数的解析式为 $y = 7x - 5$。
(3)当 $x = 25.8$ 时，$y = 7 \times 25.8 - 5 = 175.6$。答：估计这个人的身高为 $175.6cm$。